逆関数の合成関数について

関数ｆ（ｘ）の逆関数をｇ（ｘ）とすると、合成関数

ｆ（ｇ（ｘ））

はｘとなるのはわかるんですが、たとえば、

arctan(2tan(x))

というように逆関数を何倍かしたものを合成するとどのようになるのでしょうか。これ以上簡単にできないと思うのですが、この逆関数の合成関数の性質を使えばもっと簡単な式になる気もします。教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： saus 回答日時： 2008/07/19 00:58

えっと

微分する。
その後積分する。
∫d/dx(arctan(2tan(x)))=(1/2)x+3/2*∫1/(1+4(tanx)^2)dx
tanx=t
d(tanx)=dt
∫1/(1+4(tanx)^2)dx=∫1/2(1/(1+2itanx)+1/(1-2itanx))dx=
=∫1/2(1/(1+2it)+1/(1-2it))*(1/(1+t^2))dt
∫(b*(1/(1+at))*1/(1+t^2))dt
これは積分可能。以下iは虚数立方根
(b*(1/(1+at))*1/(1+t^2))=p/(at+1)+q/(t-i)+r/(t+i)
とおく。
p=(2ai/(1-ai))*qa
r=(1+ai)q/(ai-1)
p+(q-r)i=b
からp,q,rが求まる。
定数項ずれるので初期値を代入して終わり。

No.3 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/07/18 19:15

脱字訂正！

　　a = atan{tan(x)/(1 + 2*tan^2(x))}
とすれば、(1) が成立。

つまり、
arctan(2tan(x)) = x + atan{tan(x)/(1 + 2*tan^2(x))}

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/07/18 19:12

>arctan(2tan(x))

>というように逆関数を何倍かしたものを合成するとどのようになるのでしょうか。これ以上簡単にできないと思うのです.......

「簡単にできない」のか否かは別にして、
　　tanθ= 2*tan(x)　　　…(1)
の勘定だけでも…。

たとえば θ= x+a の場合なら、tan の加法定理により、
　　a = atan{tan(x)/(1+tan^2(x))}
とすれば、(1) が成立。

つまり、
arctan(2tan(x)) = x + atan{tan(x)/(1+tan^2(x))}

No.1 回答者： nious 回答日時： 2008/07/18 17:19

例えばですが反対に、tan(2arctan(x))の場合だと、

「倍角の公式(または加法定理)」を使って、tan(2arctan(x))=2x/(1-x^2)
と書き換える事ができます。では2tan(x)はどうでしょうか。