離散型確率変数の問題についてです。

離散型確率変数の問題についてです。回答をわかる方がいましたらよろしくお願い致します。

確率変数 X は離散型確率変数とする．
xi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n に対して
P(X = x1) = p1, P(X = x2) = p2, . . . , P(X = xn) = pn
とする．
a > 0 として P(X ≥ a) ≤ E(X)/a
が成り立つことを示しなさい．

No.1 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/06/16 14:09

企業で統計を推進する立場の者です。

a > 0 より、a・P(X ≥ a) ≤ E(X) を証明します。

X ≥ a　を満たすXの初項をxj、その出現確率をpjとすると、

a・P(X ≥ a) ＝apj+ap(j+1)+...+apn

一方、E(X)＝Σ(xipi) だから、

E(X)=x1p1+x2p2+...+x(j-1)p(j-1)+xjpj+x(j+1)p(j+1)+...+xnpn

もし、x1～x(j-1)間の出現確率p1～p(j-1)が全て０であっても、それ以降の項において、

xjpj+x(j+1)p(j+1)+...+xnpn

のxiはa≤xiであり、pi＞0なので、api≤xipi

よって、a・P(X ≥ a) ≤ E(X)

この回答へのお礼

いつもお世話になっております。統計学初心者で独学で勉強しており、何回もご回答をいただき、ありがとうございます。
とてもわかりやすい回答で助かりました。またいろいろ質問をしますので、ご縁がありましたらよろしくお願い致します。

お礼日時：2021/06/17 21:54

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/06/17 01:25

#1です。

#2は間違っていました。

X ≥ a　を満たすXの初項をxj、その出現確率をpjとすると、

xj＝a、pj＝1、他のpi＝0　のときに等号が成立します。

#2はその特殊ケースにすぎなかったです。すみません。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/06/16 14:20

#1です。

ちなみに等号が付くのは、最後のxnしかX≥aの条件を満たさない＋それより小さいxの出現確率が０のときです。