確率分布 確率密度関数

確率変数Xの確率密度関数f(x)が

1/2sinx (0≦x≦π)
0 (その他)
と定められてる時
2次のモーメントE(X^2)と分散V(X)を求めよ。

という問題で
E(X^2)=(π^2-4)/2
V(X)=(π^2-8)/4
となったのですが合ってますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/06/19 15:07

企業で統計を推進する立場の者です。

なかなか回答が付かないので私から。

E(X^2)は分散を求めるための誘導問題ですね。
なお、部分積分とかの部分は省略しています。

まず、平均を求めておきます。１次の積率で求めます。

E(X)=1/2・∫[0～π] x・sin x dx
=1/2・[-x cos x + sin x]0～π
=1/2・{(π)-(-0)}
=1/2・π

次に２次モーメントを求めます。

E(X^2)=1/2・∫[0～π] x^2・sin x dx
=1/2・[(-x^2+2)cos x+2x sin x]0～π
=1/2・{(π^2-2)-(2)}
=1/2・(π^2-4)

本来、分散は２次の中心積率から求めます。

V(X)=1/2・∫(x-E(X))^2・sin x dx

これが面倒だから分散は次の分散の公式から求めます。

V(X)=E(X^2)-E(X)^2
=1/2・(π^2-4)-(1/2・π)^2
=1/2・(π^2-4)-1/4・π^2
=1/4・(π^2-8)

計算、合っていました。

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございました。
とても助かりました!!

お礼日時：2021/06/20 21:50