偏微分方程式 Z∂Z/∂x+y∂Z/y=x の一般解を求めて下さい。

ラグランジュの偏微分方程式
　　Z∂Z/∂x+y∂Z/y=x
の一般解を求めて下さい。

質問者からの補足コメント

• 失礼しました。Z=Z(x,y) で　Z∂Z/∂x+y∂Z/∂y=x　です。

    補足日時：2021/11/08 21:47

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/09 14:15

zz_x+yz_y=x

の補助方程式は
dx/z=dy/y=dz/x…(1)
dz/x=dx/z
z(dz/dx)=x
∫zdz=∫xdx
z^2=x^2+c1
∴
z^2-x^2=c1…(2)

z=√(c1+x^2)
↓これを(1)に代入すると
dy/y=dx/√(c1+x^2)
∫(1/y)dy=∫{1/√(c1+x^2)}dx
log(y)=log{x+√(c1+x^2)}+c
↓z=√(c1+x^2)だから
log(y)=log(x+z)+c
log(y)-log(x+z)=c
log{y/(x+z)}=c
y/(x+z)=e^c
↓e^c=c2とすると
∴
y/(x+z)=c2
↓これと(2)から
∴
F(y/(x+z),z^2-x^2)=0

(ただしFは任意関数)

この回答へのお礼

惜しいです。z=±√(x²+c₁)　なので

z>0, z<0 について解は２つあります。

お礼日時：2021/11/09 14:44