(積分・面積) 赤で囲った部分の式の計算の仕方を教えてください

(積分・面積)
赤で囲った部分の式の計算の仕方を教えてください

質問者からの補足コメント

• よろしくお願いします

  
    補足日時：2022/02/21 08:42

• ありがとうございます！f(x)の積分まで理解できました。
  g(x)の積分の
  
  =-1+{2/(x²-2x+2)}
  =-1+[2/{1+(x-1)²}]
  だから
  x-1=tanθとおけば
  
  の部分が思いつかなかったのですが、これは↓の性質を使ったのでしょうか

  
    補足日時：2022/02/21 15:33

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/02/21 10:54

基本的に積分区間省略

(3)=∫f(x)dx-∫g(x)dx　を計算すればよいです

∫f(x)dx=∫(1+x^2)'/(1+x^2)dx
=∫{log|1+x^2|}'dx 　←←←ここの変形を思いつかなければ置換積分
=[log|1+x^2|]
=log2-log1
=log2
a=1ならば
g(x)=(-x²+2x)/(x²-2x+2)
={-(x²-2x+2)+2}/(x²-2x+2)
=-1+{2/(x²-2x+2)}
=-1+[2/{1+(x-1)²}]
だから
x-1=tanθとおけば
dx=(1/cos²θ)dθ
積分区間　x:0→1 θ:-π/4→0なので
∫g(x)dx=∫-1dx+∫[2/{1+(x-1)²}]dx
=[-x]+2∫{1/(1+tan²θ)}(1/cos²θ)dθ　←←←xの積分区間は0～１
=-1-0+2∫1/(cos²θ+sin²θ)dθ
=-1+2∫dθ
=-1+2[θ]　←←←θの積分区間は前述の通り
=-1+2・(π/4)
=-1+(π/2)
合わせて画像の通りの定積分結果を得る

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/02/21 15:46

補足についてはその通りですが

性質と言うより、この型の積分での置換の仕方のセオリー(お決まり)としてあまりにも有名です

この回答へのお礼

なるほどです。次似た形がでてきたときにできるようにしっかり覚えておきます(*^^*)
教えていただきありがとうございました

お礼日時：2022/02/21 23:00