添付画像の式を導出する際の積分計算が分かりません

添付画像の式を導出する際の積分計算が分かりません。
添付画像では、式(11.33)に対してn(x+r, t)をx周りでテイラー展開した式を代入することで式(11.34)が得られています。

式(11.33)に対してテイラー展開した式を代入した際、r^2の積分の前に1/3出てくる理由がわかりません。また、式(11.34)の2番目の式では、積分計算を実行した結果も分かりません。
Vは半径Rの球を表し、半径Rに沿って微小量drずつ積分するそうなのですが、積分計算を行うとR^5になるようですが、なぜそうなるのか分かりません。
どなたか分かる方いらっしゃれば教えてください。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• endlessriver様
  ご回答ありがとうございます。
  すみませんが私のレベルでは、ご回答いただいた内容はよく分かりませんでした。
  全てについて質問すると長くなってしまうので、まず一部だけ質問させてください。
  
  質問①
  n(x+r, t)=n(x,t)+(r・∇)n(x,t)+・・・+(1/2)(r・∇)²n(x,t)と記載されている個所は
  n(x+r, t)=n(x,t)+(r・∇)n(x,t)+(1/2)(r・∇)²n(x,t)+・・・ではないのですか？
  
  質問➁
  <r>は何を意味しますか？本文中では<>を引数に対する平均密度としていますが、それとは違う気がしたので。<>についてそれ以外の使い方があればご教授ください。
  
  質問➂
  質問➁に関連しそうですが、<r> → <r'>=<x',y',z'>は何を意味しますか？
  すみませんが、ひとまずこの3点に関して教えてください。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/11/19 11:54

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/19 13:50

たびたび失礼しました。

質問①
その通りでした。

質問②
<r> は太文字の r を表します。

質問③
そうでした。<>は文中で使われていました。

太文字<r>が関数の変数として使われているときは
　n(<r'>)=n(x',y',z')
を、ベクトルとして使われているときはベクトル
　<x',y',z'>
を意味します。

ようは、<r>と書くと、普通成分表示すると<x,y,z>とするので
#1のような変数間違いをするので、「'」をつけて区別する、と
いう意味でした。

この回答へのお礼

endlessriver様
ご回答ありがとうございます。
なるほど、変数についてあまり区別せず読んでいました。
ご回答いただいた内容について納得しました。ありがとうございました。

お礼日時：2021/11/19 14:14

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/19 08:18

失礼しました。

　n(x+r, t)=n(x,t)+(r・∇)n(x,t)+・・・+(1/2)(r・∇)²n(x,t)
は
　<r> → <r'>=<x',y',z'>
として、正確に書くと、∇は'が無く、<x>
に関する微分です。すると

　n(x+r', t)=n(x,t)+(r'・∇)n(x,t)+・・・+(1/2)(r'・∇)²n(x,t)
となる。そして

　∫x² (∂x)²n(x,t) d<r>
　　→ ∫x'² (∂x)²n(x,t) d<r'>=(∂x)²n(x,t)∫x'² d<r'>
となります。

つまり、変数、<r'>=<x',y',z'>について、<x>は定数となり、
積分の外に出せます。

なお、面倒なので　n(<x>+<r>, t)　は　n(x+r, t)　のままに記述
した。


なお、これはわかりにくい表現で <r> → <x>' として
　∫n(<x>+<x'>,t) dx'³　, ∫(<x'>・∇)² n(<x>,t) dx'³
などと書くほうがよい。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/18 23:18

１．

　(<r>・∇)²=x²(∂x)²+y²(∂y)²+z²(∂z)²
　　　　　+2xy(∂xy)+2yz(∂yz)+2zx(∂zx)
であり、微小の R内では (∂x)², (∂xy) などの微分を一定とする。

すると、上の４項の積分は
　∫2xy(∂xy)n d<r>=2(∂xy)n∫xy d<r>
となるが、x,yに対して奇関数なので積分は０となる。同様に５、６
項も０となる。

すると、積分の残りは１～３項となるが、微分が積分範囲で一定と
して
　∫(<r>・∇)² d<r>
　　=(∂x)²n∫x²d<r>+(∂y)²n∫y²d<r>+(∂z)²n∫z²d<r>・・・①

となる。ここで、対称性から、計算するまでもなく
　A=∫x²d<r>=∫y²d<r>=∫z²d<r>
となる。すると
　3A=∫x²d<r>+∫y²d<r>+∫z²d<r>=∫(x²+y²+z²)d<r>
　　=∫r²d<r>

したがって、
　A=(1/3)∫r²d<r>
となる。

これを①に入れると
　∫(<r>・∇)² d<r>
　　=(∂x)²n A+(∂y)²n A+(∂z)²n A={(∂x)²n+(∂y)²n+(∂z)²n} A
　　=(∇²)n (1/3)∫r²d<r>
となる。


なお、素人なので設定した仮定など参考程度に。

この回答へのお礼

endlessriver様
ご回答ありがとうございます。
確かに教えていただいた仮定に従えば、1/3が出てきます。
ただ、そのような仮定が成り立つような情報は本文中にはなかったと思うので、少しもやっとしています。
とりあえずありがとうございました。

お礼日時：2021/11/18 23:43