流体における密度と圧力の関係について

流体における密度ρと圧力pの関係は状態方程式によって決定されますが、等温過程と断熱過程に区分けされていていますが、だいたい似たような式にになります。それぞれ、P/ρ=const, P/ρ^(1.4)=const
です。
数値計算（シミュレーション）を考えた場合、constがどうなるかなのですが、初期条件としてp,ρの分布が既知としたらconstの分布が決まります。そして、pとρの片方が決まればもう片方が決まるということになります。そこでρの時間発展を求めるということができれば、同時にPの時間発展が求まるという考え方でいいのでしょうか。つまりρの変化に対するPの変化が時間遅れもなく一瞬で対応するということになってしまうのですが。pの時間発展とρの時間発展を別々に計算する（各変数を共有しながらなので独立ということではないですが）考え方もあり（この場合に逆に状態方程式は満足されるかという問題は残りそうですが）、これでいいのだろうかと迷っているのですが。ものすごく短時間の現象を細かく調べるのであれば、状態方程式を満足するまでの時間差（過渡現象の時定数のようなもの）も必要になるのでそういう視点になりそうですが、大気物理のように最長1日ぐらいの現象を数秒単位での時間発展を調べるということなので状態方程式が瞬間瞬間に成り立つとして進めていくことが可能なのかなと思いますが。細かい専門的な問題で恐縮ですが、よろしくお願いします。

No.2 回答者： himagene 回答日時： 2022/03/04 17:55

等温過程か断熱過程かと行った時点で近似（モデル化）されています。

p∝ρTなので、p/ρ=const, p/ρ^(1.4)=constの前者はT=constを後者は２原子分子の時の断熱変化の関係式です。初期値は予め与えられるので、どちらかのモデルが適用できる系であれば、式の変形を行い、代入して変数の数を減らすだけです。
＞音波とか衝撃波
音波の式はすぐに出ると思いますが、衝撃波は不連続面なので衝撃波面に乗った系での保存則を考えれば、１次元の場合は衝撃波の関係式が、解析的にえられます。
＞圧力を状態方程式だけから求めるのは
大気の鉛直方向の話なら、重力加速度gも考えないとダメでしょう。解きたい現象が等温過程か断熱過程になっているのかは存じませんが、状態方程式p=nkT(n;数密度,
k;ボルツマン定数,T;温度)を使えば良いのではありませんか。
もしかしたら、平衡状態での分布関数f∝exp(-gH/kT), ただしHは高さ、を使うともっと簡単になるかも。
教科書に書いてあると思いますが。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。圧縮性流体に関する取扱いは大気力学（気象系）と流体力学（機械系）でテキストに違いがあるように見えます。かなり幅があります。衝撃波の不連続面ではランキン・ユゴニオの関係とかになります。大気力学には出てないようです。大気力学では空力弾性的なものは除去して考えるらしいので一度詳細に考察しますが、結局除去するようです。
分野ごとに幅があるんですね。対象としているものが違うので近似の仕方が違うのは当然だと思いますが（今回は大気での空力弾性問題）。重力加速度は鉛直方向の運動方程式とか初期条件（静止状態なので静水圧）に入っており、当然密度にも影響するので（全部が相互作用するので）それを介して圧力に入ります。p/ρ^(1.4)=constを使うとPが簡単に出ます。ここで右辺のconstですが、初期のP,ρが分かればconstがわかるのですが、P,ρとも空間に分布しているのでconstも分布になります。でもconstなので時間的には一定だと思っているのです。初期に決めたものを使い続けるというわけです。計算時間は10時間ぐらいですが、昼夜の温度変化は無視したいですし、鉛直分布に比べて無視できるんじゃないかと思っています。断熱過程を仮定したと言いたいのですが。

お礼日時：2022/03/04 18:24

No.1 回答者： himagene 回答日時： 2022/03/04 08:08

圧力は密度と温度の積です。

流体の問題を解くには、質量保存（連続の式）、運動量保存（運動方程式、ナビエ–ストークス方程式）、エネルギー保存（熱の移動の式、状態方程式を組み込みます）の３つが必要です。問題によっては式が単純になるので解析的に解く事ができます。
多くの場合は近似（特徴的な時間や空間の大きさを比較して無視できる量や項は落とします）によって式を簡単にしてから解きますが、空間分布が不均一等で簡単には解けない場合には数値計算（差分方程式）によります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。ここで、質量保存、運動量保存(NSeq.)は差分方程式で求めます。圧縮性を考えているので質量保存式は流体の密度を求めることになります。ここでPの発展方程式をどうするかということですが、圧力Pだけ発展方程式を解かず、質量保存から求まった密度によって状態方程式から求めるとするのは問題が大きいでしょうか。計算の安定性がうまく処理できなくなったので圧力の発展計算は密度の発展に肩代わりしてもらうという考え方になってきたのです(後ろ向きなのですが)。
一方でテキストなどをみると音波とか衝撃波（この２つはどこが違うのかなと思うのですが）の方程式はかなり簡単化されたもの（式が1本）もあります。今回、相手が大気中の音波・衝撃波なので物理量の鉛直分布はあります(重力も関係していて重力音波ということです)。ただし、鉛直方向分布だけです（水平方向の変化はなし）。初期値は流速についてはゼロ、初期密度・圧力分布はＵＳ標準大気としています。
いずれにしても圧力を状態方程式だけから求めるのは問題でしょうか。

お礼日時：2022/03/04 10:53