ネットワークで通信が成功する確率

次のようなネットワークがあり、1～4は故障率1/2の中継機器をあらわしている。AからBまで通信を行うとき、通信が成功する確率はいくらか。

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A-1-3-B-5
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解説が次のようになっています。

AからBまで通信を行うとき、通信が失敗する場合は、１，２，４の中継機器が同時に故障しているか、または、３と５の中継機器が同時に故障している場合のいずれかである。
したがって、求める確率は1-{(1/2)^3+(1/2)^2}=5/8



でも、１，２，４や３，５の他に、２，３，４が同時に壊れた場合も通信が失敗するではないか？と思い悩んでいるのです。どうして１，２，４と３，５だけが取り上げられているのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： Naoki_M 回答日時： 2005/04/01 18:56

「1～4は故障率1/2」ではなく、「1～5は故障率1/2」でよろしいでしょうか。

でしたら、答えは5/8で合っています。でも、解説の解き方は二つの点で間違っています。なので、疑問に思われるのはもっともだと思います。むしろ、解説者が見落とした点を見つけられるなんて、鋭いと思います。間違っている理由は以下の通りです。

(i)1,2,3,4,5が同時に故障している確率を二重に加算してしまっている
解説の方法で求めるなら、正しくは
1-{(1/2)^3+(1/2)^2-(1/2)^5}=21/32
としなければいけませんね。
1,2,4が同時に故障している確率……(1/2)^3
3,5が同時に故障している確率……(1/2)^2
1,2,3,4,5が同時に故障している確率……(1/2)^5
なので、二重に加算しないようにしなければなりません。この理由は、ベン図を書くとわかりやすいかと思います。

ただし、上の解法では、質問者さんのおっしゃる通り、
(ii)2,3,4が故障し、1,5が故障していない場合が含まれていない
ので、この確率を今求めた確率から除かなければいけません。したがって正しい答えは、
21/32-(1/2)^5=5/8
です。

したがって、「２，３，４が同時に壊れた場合も通信が失敗するではないか？」という指摘は正しいです。確率の計算では、二重に数えたり、見落としたりすることがないように注意しなければなりません。たまたま答えが同じになるので、おそらく解説を書いた方が勘違いしてしまったのでしょう。

私なら、基本に戻って全ての場合を書き上げて解きます。全部で32通りしかないので、それほど時間がかかりません。

この回答へのお礼

理解しました、ありがとうございます。
結局は、全部の場合を書いた方がよさそうですね。
一般論的なとき方をするとミスりそうです。

お礼日時：2005/04/02 22:21

No.2 回答者： yu--u 回答日時： 2005/04/01 15:38

わかりにくかったですねすいません。

たすというか１、２、４、と３、５に含まれているという意味でした。
２、３、４だと確かに通信は出来ないのですが、そこだけ計算すると通信できないすべてを含んでいるわけではありません（２、３、４のうちどこかが壊れていないからといって１、５が壊れていては通信できない場合がありますから）。
全ての箇所を含めて確立を計算しなければいけないのでさっき言ったOKな状態から1段目と2段目と言う考え方になります。
結局は１がダメなとき２がダメなとき３がダメなときとすべてがダメな場合の状況を考えなければいけませんが単体でダメになる数字が無いのでAからの1段目経由する2段目として全ての数字を含めて計算しなければなりません。
わかりづらい回答ですいません。

No.1 回答者： yu--u 回答日時： 2005/04/01 14:29

こんにちは。

通り道として考えられるのは
１→３
２→３
２→５
４→３
４→５
であって単純に1番目に通る場所１、２、４と2番目に通る３，５で、1番目が大丈夫な時2番目が同時に壊れていれば失敗だし1番目が同時に壊れていれば2番目が大丈夫でも失敗するって意味ですね。
つまり通信が成功するのは１OR２OR４のいづれかが正常で３OR５（１の場合は３のみ）が正常の場合となりますので考え方として２、３、４は両方をたしたものなので含まれています。
通信の1段目、2段目として考えるとわかりやすいと思いますよ。

この回答への補足

＞２、３、４は両方をたしたもの
すいません、この意味がよくわかりません。「たす」とはどういうことでしょうか？

>通信が失敗する場合は、１，２，４の中継機器が同時に故障しているか、または、３と５の中継機器が同時に故障している場合のいずれかである。

２，３，４が壊れている場合、
１が動いてますから「１，２，４が同時に故障している」という条件はみたしません。
５が動いていますから「３と５が同時に故障している」という条件もみたしません。
しかし、図を見る限りでは通信できないはずです。

補足日時：2005/04/01 14:50