次のようなネットワークがあり、1~4は故障率1/2の中継機器をあらわしている。AからBまで通信を行うとき、通信が成功する確率はいくらか。

----2----
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A-1-3-B-5
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----4----

解説が次のようになっています。

AからBまで通信を行うとき、通信が失敗する場合は、1,2,4の中継機器が同時に故障しているか、または、3と5の中継機器が同時に故障している場合のいずれかである。
したがって、求める確率は1-{(1/2)^3+(1/2)^2}=5/8



でも、1,2,4や3,5の他に、2,3,4が同時に壊れた場合も通信が失敗するではないか?と思い悩んでいるのです。どうして1,2,4と3,5だけが取り上げられているのでしょうか?

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A 回答 (3件)

「1~4は故障率1/2」ではなく、「1~5は故障率1/2」でよろしいでしょうか。

でしたら、答えは5/8で合っています。でも、解説の解き方は二つの点で間違っています。なので、疑問に思われるのはもっともだと思います。むしろ、解説者が見落とした点を見つけられるなんて、鋭いと思います。間違っている理由は以下の通りです。

(i)1,2,3,4,5が同時に故障している確率を二重に加算してしまっている
解説の方法で求めるなら、正しくは
1-{(1/2)^3+(1/2)^2-(1/2)^5}=21/32
としなければいけませんね。
1,2,4が同時に故障している確率……(1/2)^3
3,5が同時に故障している確率……(1/2)^2
1,2,3,4,5が同時に故障している確率……(1/2)^5
なので、二重に加算しないようにしなければなりません。この理由は、ベン図を書くとわかりやすいかと思います。

ただし、上の解法では、質問者さんのおっしゃる通り、
(ii)2,3,4が故障し、1,5が故障していない場合が含まれていない
ので、この確率を今求めた確率から除かなければいけません。したがって正しい答えは、
21/32-(1/2)^5=5/8
です。

したがって、「2,3,4が同時に壊れた場合も通信が失敗するではないか?」という指摘は正しいです。確率の計算では、二重に数えたり、見落としたりすることがないように注意しなければなりません。たまたま答えが同じになるので、おそらく解説を書いた方が勘違いしてしまったのでしょう。

私なら、基本に戻って全ての場合を書き上げて解きます。全部で32通りしかないので、それほど時間がかかりません。
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この回答へのお礼

理解しました、ありがとうございます。
結局は、全部の場合を書いた方がよさそうですね。
一般論的なとき方をするとミスりそうです。

お礼日時:2005/04/02 22:21

わかりにくかったですねすいません。


たすというか1、2、4、と3、5に含まれているという意味でした。
2、3、4だと確かに通信は出来ないのですが、そこだけ計算すると通信できないすべてを含んでいるわけではありません(2、3、4のうちどこかが壊れていないからといって1、5が壊れていては通信できない場合がありますから)。
全ての箇所を含めて確立を計算しなければいけないのでさっき言ったOKな状態から1段目と2段目と言う考え方になります。
結局は1がダメなとき2がダメなとき3がダメなときとすべてがダメな場合の状況を考えなければいけませんが単体でダメになる数字が無いのでAからの1段目経由する2段目として全ての数字を含めて計算しなければなりません。
わかりづらい回答ですいません。
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こんにちは。

通り道として考えられるのは
1→3
2→3
2→5
4→3
4→5
であって単純に1番目に通る場所1、2、4と2番目に通る3,5で、1番目が大丈夫な時2番目が同時に壊れていれば失敗だし1番目が同時に壊れていれば2番目が大丈夫でも失敗するって意味ですね。
つまり通信が成功するのは1OR2OR4のいづれかが正常で3OR5(1の場合は3のみ)が正常の場合となりますので考え方として2、3、4は両方をたしたものなので含まれています。
通信の1段目、2段目として考えるとわかりやすいと思いますよ。

この回答への補足

>2、3、4は両方をたしたもの
すいません、この意味がよくわかりません。「たす」とはどういうことでしょうか?

>通信が失敗する場合は、1,2,4の中継機器が同時に故障しているか、または、3と5の中継機器が同時に故障している場合のいずれかである。

2,3,4が壊れている場合、
1が動いてますから「1,2,4が同時に故障している」という条件はみたしません。
5が動いていますから「3と5が同時に故障している」という条件もみたしません。
しかし、図を見る限りでは通信できないはずです。

補足日時:2005/04/01 14:50
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