2^（xy）の2次の偏微分が分かりません。わかる方教えていただきたいです。

2^（xy）の2次の偏微分が分かりません。わかる方教えていただきたいです。

質問者からの補足コメント

• ｆxxとｆyyとｆxyを教えていただきたいです。

    補足日時：2022/08/02 15:22

• 解いてみたのですが答えが手元にないためあっているか不安です。答えを教えていただけるとありがたいです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/08/02 15:55

No.9 回答者： feuilleton_623 回答日時： 2022/08/03 05:55

No 8は間違っていました。

無視してください。

No.8 回答者： feuilleton_623 回答日時： 2022/08/02 23:25

No 4です。

自然対数を取るとしましたが、常用対数で良かったです。御免なさい。
だから結果は、z=2^(xy)として、log(z)=xy*log(2)で
∂z/∂x＝y*log(2)、10の指数に戻して ∂z/∂x=log(2)*10^ý
同様にして
∂z/∂ý=log(2)*10^x

二階の偏微分 ∂^2z/∂x^2=∂^2z/∂ý^2=0 で
∂^2z/∂x∂ý=log(2)*10^y
∂^2z/∂ý∂x=log(2)*10^x

No.7 回答者： feuilleton_623 回答日時： 2022/08/02 22:40

fxx=∂^2z/∂x^2

fyy=∂^2z/∂ý^2
fxy=∂^2z/∂x∂ý
fyx=∂^2z/∂ý∂x
です。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/02 20:17

高校の問題集に 2^(ax) を微分せよ

と書いてあったら、どうしますか？
それと全く同じです。

まず、 2^ の定義どおりに 2^(xy) = e^(xy log2) と書き換えて、
(∂/∂x) 2^(xy) = (∂/∂x) e^(xy log2) = (y log2)e^(xy log2),
(∂/∂y) 2^(xy) = (∂/∂y) e^(xy log2) = (x log2)e^(xy log2).

これを更に微分するのですが、積の微分法則も使って
(∂/∂x) (∂/∂x) 2^(xy) = (∂/∂x) (y log2)e^(xy log2)
　　　　　　　　　　　= (y log2)^2 e^(xy log2),
(∂/∂y) (∂/∂y) 2^(xy) = (∂/∂y) (x log2)e^(xy log2)
　　　　　　　　　　　= (x log2)^2 e^(xy log2),
(∂/∂y) (∂/∂x) 2^(xy) = (∂/∂y) (y log2)e^(xy log2)
　　　　　　　　　　　= (log2)e^(xy log2) + (y log2)(x log2)e^(xy log2).
ちなみに、f_yx も
(∂/∂x) (∂/∂y) 2^(xy) = (∂/∂x) (x log2)e^(xy log2)
　　　　　　　　　　　= (log2)e^(xy log2) + (x log2)(y log2)e^(xy log2)
　　　　　　　　　　　= (∂/∂y) (∂/∂x) 2^(xy)
となりますが、これは計算してみるまでもないですね。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/02 19:45

log{2^(xy)}=xylog2

f(x,y)=2^(xy)=e^(xylog2)

f_x=(ylog2)e^(xylog2)

f_xx=e^(xylog2)(ylog2)^2
=2^(xy)(ylog2)^2

f_y=(xlog2)e^(xylog2)

f_yy=e^(xylog2)(xlog2)^2
=2^(xy)(xlog2)^2

f_xy
=(log2)e^(xylog2)+(ylog2)(xlog2)e^(xylog2)
=(log2)(1+xylog2)e^(xylog2)
=(log2)(1+xylog2)2^(xy)

No.4 回答者： feuilleton_623 回答日時： 2022/08/02 17:13

z=2^(xy)とする。

自然対数を取ると
ln(z)=xý*ln(2)

∂{ln(z)}/∂x=y*ln(2)
指数関数に戻すと
右辺は exp{y*ln(2)}=2^y
∴∂z/∂x=2^ý
同様にして
∂z/∂ý=2^x

二階の偏微分 ∂^2z/∂x^2=∂^2z/∂ý^2=0 で
∂^2z/∂x∂ý=ln(2)*2^y
∂^2z/∂ý∂x=ln(2)*2^x

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2022/08/02 15:44

追記ですが、そもそも

f(x)=a^x(a>0)

の微分のやり方は高校の数学で習っているわけですからそれを当てはめるだけです。偏微分と言う事を気にしなければ実質的には高校数学の範囲の問題です。

この回答へのお礼

アドバイスしてくださった通りにやってみましたが答えが手元にないのであっているか不安です。答えを教えていただけるとありがたいです。

お礼日時：2022/08/02 15:47

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2022/08/02 15:42

教えてもヘッタクレも単に2回微分するだけ。

質問文の偏微分なら実質的には高校の数学で習ってるのと同じです。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2022/08/02 15:37

2^(xy)=e^{(ln2)xy}

と変形すればそんなに難しくないと思います。