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よく解けない漸化式の問題で絶対値をつけているのを見かけますが勝手につけていいものなんですか?
同値性ではなくないですか?

※3行目は問題の条件です

「よく解けない漸化式の問題で絶対値をつけて」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 1行目と2行目
    =ではなく<でした……
    =

    すみません

      補足日時:2022/08/12 17:29
  • 最初から問題示せばよかったですね……すみません

    「よく解けない漸化式の問題で絶対値をつけて」の補足画像2
      補足日時:2022/08/12 23:31
  • (2)の最後の変形で絶対値を付けるところがあるんですが付けていい理由が分からないという質問です
    (ほんとにすみません)

      補足日時:2022/08/12 23:32

A 回答 (10件)

「(2)の最後の変形」とやらがどのような「変形」なのか知らんが, 「絶対値記号を付けていい」理由であれば


a = b ならば |a| = |b| だから
ということになろうかと. あるいは「『絶対値』が関数だから」といってもいい.
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a(1)≧0


a(n+1)=√{3a(n)+10}

|a(n+1)-5|
=|5-√{3a(n)+10}|
=3|a(n)-5|/(5+√{3a(n)+10})
≦(3/5)|a(n)-5|


|a(n+1)-5|≦(3/5)|a(n)-5|

示されたのだから同値である必要はありません


a(1)≧0
a(n+1)=√{3a(n)+10}

である事と

|a(n+1)-5|≦(3/5)|a(n)-5|

である事は同値ではありません
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a(1)≧0


a(n+1)=√{3a(n)+10}

|a(n+1)-5|
=|5-√{3a(n)+10}|
=3|a(n)-5|/(5+√{3a(n)+10})
≦(3/5)|a(n)-5|


|a(n+1)-5|≦(3/5)|a(n)-5|

示されたのだから同値である必要はありません
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書いてある通りですが。



②の
 a[n+1]-a=3(a[n]-a)/{ √(3a[n]+10)+√(3a+10) }
から
 a[n+1]-a < 3(a[n]-a)/5・・・・(a)
を言いたいのですが、
 √(3a[n]+10)+√(3a+10)>5
だから
 a[n]>5 
のとき、
 3(a[n]-a)/{ √(3a[n]+10)+√(3a+10) }<3(a[n]-a)/5
となって、(a)が言える。

そして、a[n]<5(=a) なら
 3(a[n]-a)/{ √(3a[n]+10)+√(3a+10) }>3(a[n]-a)/5
となって、(a)が言えない。

たとえば、a>5 のとき
 1/a<1/5
ですが
 -1/a>-1/5
となる。
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与式から、


 a[n]>0
は自明。

(1)
 a=√(3a+10)
を解くと
 a=5 or -2
となるが、a≧0 は自明だから
 a=5・・・・①
となる。

(2)
a=5 として
 a=√(3a+10)
だから
 a[n+1]-a=√(3a[n]+10)-√(3a+10)
  ={ (3a[n]+10)-(3a+10) } / { √(3a[n]+10)-√(3a+10) }
  =3(a[n]-a)/{ √(3a[n]+10)+√(3a+10) }・・・・②

ここで
 x>0 → √(x+10)>√10>2.5
だから
 √(3a[n]+10)+√(3a+10)>5
なので、②は
 a[n+1]-a < 3(a[n]-a)/5
としたいが、(a[n]-a) の正負が分からないので、そうは言えない。

ただ、②に絶対値を取ると
 |a[n+1]-a|=3|a[n]-a|/{ √(3a[n]+10)+√(3a+10) }
      <3|a[n]-a|/5
をえる。a=5 だから、与式を得る。


なお、
 a[n]<5
なので、
 (0<) 5-a[n+1]<(3/5)(5-a[n])
となり、絶対値を取らずとも議論ができるが、証明しなければ
いけないので、絶対値を取れば簡単。
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この回答へのお礼

ほんとに理解力が無さすぎて申し訳ないです

②に絶対値を取ると
|a[n+1]-a|=3|a[n]-a|/{ √(3a[n]+10)+√(3a+10) }
      <3|a[n]-a|/5
をえる。a=5 だから、与式を得る。

の絶対値をつけていい理由が分からないです……

お礼日時:2022/08/13 13:35

なんか妙に「同値」ということにこだわっているような気がするなぁ. 「同値」にこだわり過ぎてしまって「何をしているのか」「何をしたいのか」あるいは「何をしなければならないのか」を見失っているようにすら感じる.



「同値性ではなくないですか?」っていうのは (ことばがおかしいのはさておき) 「同値であるべき」というのが前提にあるはずだよね? なんで「同値じゃないといけない」と思ったのかな?
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a(1)≧0


a(n+1)=√{3a(n)+10}

a(1)=0 とすると
a(2)=√10
となるけれども

a(n+1)-5=(3/5)(a(n)-5)

a(1)=0とすると
a(2)-5=(3/5)(-5)=-3
a(2)=2≠√10=a(2)
となるから

a(n+1)=√{3a(n)+10}

a(n+1)-5=(3/5)(a(n)-5)

矛盾しています
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a[n]>0 → a[n]-5>0 の誤りでした。

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同値ではありません。

a[n]>0なら同値ですが。

>※3行目は問題の条件です<
●意味が分からん。
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1、2行の詳細が不明だが、結論 an → 5 から、絶対値を


つけても問題ない。

1、2行と3行の関連が不明。
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