A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
演算子法が簡単じゃない?
①
特殊解は、
(D^2-4D+5)y = e^(2x)/sin x より
y = { 1/(D^2-4D+5) }e^(2x)/sin x
= { 1/(D-(2+i)) + 1/(D-(2-i)) }e^(2x)/sin x
= { 1/(D-(2+i)) }e^(2x)/sin x + { 1/(D-(2-i)) }e^(2x)/sin x
= e^((2+i)x) ∫{ e^(-(2+i)x) e^(2x)/sin x }dx
+ e^((2-i)x) ∫{ e^(-(2-i)x) e^(2x)/sin x }dx
= e^((2+i)x) ∫{ e^(-ix) 2i/(e^(ix) - e^(-ix)) }dx
+ e^((2-i)x) ∫{ e^(ix) 2i/(e^(ix) - e^(-ix)) }dx
= e^((2+i)x) ∫{ 2/(- e^(ix) + e^(-ix)) } (-i) e^(-ix) dx
+ e^((2-i)x) ∫{ 2/(e^(ix) - e^(-ix)) } i e^(ix) dx
= e^((2+i)x) ∫{ 2/(- 1/v + v) } dv ;v=e^(-ix)
+ e^((2-i)x) ∫{ 2/(u - 1/u) } du ;u=e^(ix)
= e^((2+i)x) ∫{ 1/(v+1) + 1/(v-1) } dv
+ e^((2-i)x) ∫{ 1/(u+1) + 1/(u-1) } du
= e^((2+i)x) log(v^2 - 1)
+ e^((2-i)x) log(u^2 - 1)
= e^((2+i)x) log(e^(-2ix) - 1)
+ e^((2-i)x) log(e^(2ix) - 1).
特殊解を1個見つければよいだけだから、積分定数は気にしていない。
一般解は、
y = e^((2+i)x) log(e^(-2ix) - 1) + e^((2-i)x) log(e^(2ix) - 1)
+ A e^((2+i)x) + B e^((2-i)x) ;A,Bは定数。
No.1
- 回答日時:
右辺の関数の形から「特殊解」の形を想定して試行錯誤することもできますが、一般的な場合の特殊解の求め方があります。
「ロンスキー行列」と呼ばれるものを使う方法。
講義やテキストでやりませんでしたか?
下記の動画の 16:00~ あたりから。
↓
書きものだと、下記の「7.3 一般的な解法(定数変化法)」
↓
https://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~norihiro.tana …
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