有限要素法って数学ですか？

教えてください。
理学部数学科で有限要素法はやりますか？
有限要素法って数学ですか？

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/12/22 19:19

？ 数学かどうかはどうでも良くて、解ければOKみたいだけど

じゃあなんでこんな質問したの？

回答者は皆数学かどうかを答えてるけど、あなたのお礼は
全くのあさってに向かってる。わけわからんです。

この回答へのお礼

真実の数学とは何でしょう?
理学部数学科の数学は真実の数学でしょうか？

お礼日時：2022/12/23 09:44

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/12/22 10:46

どうなんでしょうね？

数値計算の技法そのものが数学とは思わないけど、
それが解を近似できることを保証するのは数学の範疇に
入りそう。

実際やってみて、うまくゆきそうだね～
でもどのくらい正しいかよくわからんね~
でも雰囲気はこんなもんだろうね～
パラメータちょっと弄ったらこんくらい
変わるからいけそうだね～

工学ではこれで済ますことが多いけど、
数学ではないかも(^^;

この回答へのお礼

微分方程式で解けるものは全体のほんの一部であり、ほとんどの微分方程式は解析的に解けないことが分っています。
つまりこの世界で起こっているほとんどの物理現象は微分方程式で表現できたとしても解くことはできないわけです。
そんなときはどうするのか。
もちろん近似的に解くしかないですよね。
最終的には数学であろうが数学でなかろうが関係はありません。
何らかの形で物理現象を表現し、扱えれば現実世界ではそれでよいのではありませんか。

お礼日時：2022/12/22 14:03

No.6 回答者： isoworld 回答日時： 2022/12/21 18:01

数学と言えば数学ですが、回答にあるように解析したい領域を小さい区分に分け、その区分どおし（加えて外部から影響がある要因も加えて）でやり取りするエネルギーなり力なりの方程式を立て、全区分が時間とともにどう変化するかをコンピュータで計算させます。

区分の数によってはたぶん膨大な計算量になります。

なので、数学と言えば数学ですが、その区分どおしでやり取りするエネルギーなり力なりをすべて把握するのには物理だとか化学だとか気象だとか構造力学の知識がないと出来ません。

この回答へのお礼

微分方程式で解けるものは全体のほんの一部であり、ほとんどの微分方程式は解析的に解けないことが分っています。
つまりこの世界で起こっているほとんどの物理現象は微分方程式で表現できたとしても解くことはできないわけです。
そんなときはどうするのか。
もちろん近似的に解くしかないですよね。
最終的には数学であろうが数学でなかろうが関係はありません。
何らかの形で物理現象を表現し、扱えれば現実世界ではそれでよいのではありませんか。

お礼日時：2022/12/22 14:06

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/12/21 17:22

多くのソルバーが商用化されており、ある意味完成した体系なので、理学部数学科での授業で紹介はあっても研究対象ではないと思います。

合わせ込みというか、「データ同化」の研究であれば、やられています。

あと、応用分野として「多目的設計探査」などが研究されています。「HPCI」の第4分野だったと思います（今は違うかも）。

「」内で検索してみて下さい。

この回答へのお礼

微分方程式で解けるものは全体のほんの一部であり、ほとんどの微分方程式は解析的に解けないことが分っています。
つまりこの世界で起こっているほとんどの物理現象は微分方程式で表現できたとしても解くことはできないわけです。
そんなときはどうするのか。
もちろん近似的に解くしかないですよね。
最終的には数学であろうが数学でなかろうが関係はありません。
何らかの形で物理現象を表現し、扱えれば現実世界ではそれでよいのではありませんか。

お礼日時：2022/12/22 14:08

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/21 16:07

有限要素法は物理の問題を数値的に解くための数値計算の手法です。

だからそれを学ぶことは数学の勉強のうちには数えません。
　しかし、この手法自体が持つ性質を研究するのなら、それは数学になり得ます。つまり「有限要素法を対象とする数学研究」は可能です。いろんな数学の問いが立てられるんじゃないでしょうか。
　例えば、有限要素法をある程度の規模の問題に使ってみると、うまく行ったり行かなかったりする。その要因は主として「有限個の要素への分割が上手かどうか」というartの部分にあります。（うんとコマカク分割すればいいかというと、そうでもなく、却って誤差が積み重なってしまう。）ではどう分割するのが最適なのか、と問えば、これは数学の問題になるでしょう。また例えば、分割は与えられたものとして、「精度保証付き数値計算」という分野の観点から計算誤差を至適にコントロールできるアルゴリズムを考える、という問いの立て方もあるでしょう。

この回答へのお礼

微分方程式で解けるものは全体のほんの一部であり、ほとんどの微分方程式は解析的に解けないことが分っています。
つまりこの世界で起こっているほとんどの物理現象は微分方程式で表現できたとしても解くことはできないわけです。
そんなときはどうするのか。
もちろん近似的に解くしかないですよね。
最終的には数学であろうが数学でなかろうが関係はありません。
何らかの形で物理現象を表現し、扱えれば現実世界ではそれでよいのではありませんか。

お礼日時：2022/12/22 14:09

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/21 15:36

いいえ、数学ではなく応用数学（つまり算数）の一技法です。

No.2 回答者： han-ka-2 回答日時： 2022/12/21 15:02

FEM を研究していたわけではなく使っていた者で，手法については学部と大学院の講義で基本的なことを教えてもらっています。

その記憶を少し書いておきます。歴史的には，数学的証明が実用化以後に行われたという，とても珍しい近似解法の手法です。
　古くは構造解析においてマトリックス解析法という方法があり，元はたわみ角法とか３連・４連モーメント法の拡張をして，コンピュータで効率よく複雑な構造系が解けるようにした手法でした。それが，いわゆるガラーキン法やレイリー・リッツ法であることに気づいていて，つり合い式などの強形式を直接解くのではなく，仮想仕事の式つまり第一変分という弱形式に，近似関数を用いて解く方法と捉えられるようになりました。また，その近似関数に区分的多項式を使うようになりました。
　この区分というのが，対象領域を有限個の領域に分割して，その個々の領域ごとに多項式で解を近似しようという考え方です。この分割した領域を有限要素と呼ぶことと，近似関数に三角関数などではなく多項式を使ったという点が，大きな特徴です。マトリックス構造解析法が，いわば強形式をきちんと解いて，コンピュータで使いやすくなるように行列表記にしたというのに対し，FEM は弱形式を用いた近似解法となります。ごく一部の問題以外でFEM は厳密解を出しません。ある誤差を含む近似解。その誤差は要素の形や多項式の次数に依存し，仮想仕事式を積分した汎関数を用いた関数のノルムで評価されるというわけです。汎関数が定義できない（非保存系など）場合も，いろいろ論文が出てましたが，そこは僕は勉強していません。構造解析については1960年前後にFEM だけの国際会議が開催されるようになると共に，世界的にオープンソースにした共同開発が行われ，SAP とか，非線形の Non-SAP というのが開発され，ある大学の修士論文はある要素を提案するというような時代もあったようです。そしてそれが SAP などに組み込まれていく。しだいに，いろんな大学の先生が独自のプログラムを開発をするようになって，世界中にいくつか有名な汎用ソフトができてきています。
　こうなってくると，構造解析だけじゃなく，強形式で表された境界値問題ならなんでもその弱形式（仮想仕事式）を求めて，区分的多項式で近似解を得られるようになったというのが現状でしょう。時間軸方向には差分近似をした上で，空間的にはFEM を使うというのが標準的ではないでしょうか。これが1970年代くらいまでの状況。
　そのころ，数学者の興味を引いて，なぜ多項式の方がいいのか，なぜ分割数を増やすと厳密解に収束するのかしないのか，という研究が，ようやく行われたという特徴があったかと思います。だからFEM は数学か？　と言われれば，ま，弱形式と区分的多項式で境界値問題を近似的に解く手法と書いてしまえば数学ですけどね。理学部では教えることも使うことも無いでしょうね。一ユーザーが学生時代に習ったことを書いておきました。もっと詳しい方がいれば，正確なことを書いてくださるとは思います。

この回答へのお礼

微分方程式で解けるものは全体のほんの一部であり、ほとんどの微分方程式は解析的に解けないことが分っています。
つまりこの世界で起こっているほとんどの物理現象は微分方程式で表現できたとしても解くことはできないわけです。
そんなときはどうするのか。
もちろん近似的に解くしかないですよね。
最終的には数学であろうが数学でなかろうが関係はありません。
何らかの形で物理現象を表現し、扱えれば現実世界ではそれでよいのではありませんか。

お礼日時：2022/12/22 14:10

No.1 回答者： ogi_3 回答日時： 2022/12/21 14:47

有限要素法は数値解析手法の一つ。

解析的に解くことが難しい微分方程式の近似解を数値的に得る方法の一つであり、 Turner-Clough-Martin-Toppによって導入された。
方程式が定義された領域を小領域（要素）に分割し、各小領域における方程式を比較的単純で共通な補間関数で近似する。 構造力学分野で発達し、他の分野でも広く使われている手法である。
その背景となる理論は、関数解析(リースの表現定理、ラックス＝ミルグラムの定理など)と結びついて、数学的に整然としている。

FEMを用いて現象を研究・分析することを「有限要素解析（FEA）」と呼ぶことがある。

この回答へのお礼

微分方程式で解けるものは全体のほんの一部であり、ほとんどの微分方程式は解析的に解けないことが分っています。
つまりこの世界で起こっているほとんどの物理現象は微分方程式で表現できたとしても解くことはできないわけです。
そんなときはどうするのか。
もちろん近似的に解くしかないですよね。
最終的には数学であろうが数学でなかろうが関係はありません。
何らかの形で物理現象を表現し、扱えれば現実世界ではそれでよいのではありませんか。

お礼日時：2022/12/22 14:11