大学数学（最大最小問題）

Question

２次形式 f1(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 − 2xy − 2yz − 2zx について標準形を求め, 球面x^2 + y^2 + z^2 = 1 上の最大値・最小値およびそれらを達成する点をすべて教えてください

tknakamuri · Accepted Answer

No.3 続き
f1(x', y', z') = -x'^2 + y^2 + z^2
= 2(x'^2 + y^2 + z^2) - 3x'^2 = 2 - 3x'^2

なので、x'=±1, y'=z'=0 の2点で最小値 -1
x'=0(y'^2+z'^2=1) の円周上で最大値２

v1=(1/√(3))(1, 1, 1)
v2=(1/√(6))(2, -1, -1)
v3=(1/√(2))(0, 1, -1)
U = (v1^t, v2^t, v3^t)

で変換すると x, y, z が得られます。

endlessriver · Answer

#3を見ると、変換しなくても、もっと簡単な方法がわかった。

f=2(x²+y²+z²)-(x+y+z)²=2-(x+y+z)²
右辺が最大になるのは　(x+y+z)²が最小、つまり、
x+y+z=0 のとき。
すると
　x+y+z=0 かつ x²+y²+z²=1
のとき、最大。

また
　f=(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²-(x²+y²+z²)=(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²-1
これが、最小になるのは
　(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=0
のとき、つまり
　x-y=y-z=z-x=0 → x=y=z → 3x²=1 → x=y=z=±1/√3

tknakamuri · Answer

これ、標準形に座標変換してから解けという話なんでしょうね。

標準形の一つは2次形式の行列の固有値が -1, 2, 2 だから
f1(x', y', z') = -x'^2 + 2y'^2 + 2z'^2 
となるはず。

2次形式の性質上変換は合同変換にできるから
#固有値2の固有ベクトルは直交する2方向を選ぶ
#グラムシュミットや外積を使えば簡単
球面は球面に移るので
x'^2 + y'^2 + z'^2＝1
上の最大値・最小値を求めて逆変換する
というのが問題が求めている解法だと思います。

固有ベクトルを直交するように選んで、正規化したものを
並べた行列をUとすると
(x, y, z)^t = U(x', y', z')^t

直接解くよりめんどくさいけど、得るものが多いです。

endlessriver · Answer

f(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2 − 2xy − 2yz − 2zx・・・・①
　g(x,y,z)=球面x^2 + y^2 + z^2 -1=0・・・・・②
とする。

標準形の意味が不明なので無視すると、ラグランジュで
　2x-2y-2z=λ2x・・・③
　2y-2x-2z=λ2y・・・④
　2z-2y-2x=λ2z・・・⑤
③④から
　y(2x-2y-2z)=λ2xy=x(2y-2x-2z)
 → (x-y)(x+y+z)=0

他の式を解いてもよいが、x,y,zは対称だから、同じく
　(y-z)(x+y+z)=0
　(z-x)(x+y+z)=0
を得る。

これらから、
　(x-y)=(y-z)=(z-x)=0 または x+y+z=0
　x=y=z または x+y+z=0
をえる。

前者の時は、球面の式に入れて
　3x²=1 → x=y=z=±1/√3・・・・⑥
　f(±1/√3,±1/√3,±1/√3)=-1 (複合同順)

後者は、２乗すると
　0=(x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)=2(x²+y²+z²)-f₁
 → f₁=2(x²+y²+z²)=2 (②から)

有界閉集合(②)上の連続関数①は最大最小を持つ。また、①は
微分可能なので、最大最小は極値。そして、それは上で求めた
停留点でもあるから、それらの中から最大最小を選べばよい。

したがって、
最大・・・・f(x,y,z)=2 ( x+y+z=0 かつ x²+y²+z²=1)
最小・・・・f(±1/√3,±1/√3,±1/√3)=-1 (複合同順)

EDたたない · Answer

なんか見返りでもあんの？

No.3 続き