一様収束の判定をお願いしたいです。 ①f_n(x)=nx/(1+nx) (0<x=<1) ②f_n(

一様収束の判定をお願いしたいです。
①f_n(x)=nx/(1+nx) (0<x=<1)
②f_n(x)=xe^(-nx) (0=<x<∞)

よろしくお願いします。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/26 21:29

①

0<x<1 のとき
任意のε>0に対して
n_0>1/(xε) となるような自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して
1/ε<n_0x<nx<nx+1
1/(1+nx)<ε
だから
|f_n(x)-1|=1-nx/(1+nx)=1/(1+nx)<ε
だから
f_n(x)は1に各点収束する…(1)

ε=1/2 が存在して
任意の自然数Nに対して
n=2N
x=1/n
とすると
n>N
nx=1
|f_n(x)-1|=1-nx/(1+nx)=1/(1+nx)=1/(1+1)=1/2≧1/2=ε
だから
(1)の各点収束は一様収束でない

②
任意のε>0に対して
n_0>1/εとなるような自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して
任意のx≧0に対して
nx<e^(nx)
↓両辺にe^(-nx)/nをかけると
xe^(-nx)<1/n<1/n_0<ε
だから
|f_n(x)|=xe^(-nx)<1/n<ε
だから
f_n(x)は0に一様収束する

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/26 20:15

①

0<x<1 のとき
任意のε>0に対して
n_0>1/(xε) となるような自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して
nx>n_0x>1/ε
1+nx>nx>1/ε
ε>1/(1+nx)
だから
|f_n(x)-1|=|1-nx/(1+nx)|=1/(1+nx)<ε
だから
f_n(x)は1に各点収束する…(1)

ε=1/2 が存在して
任意の自然数Nに対して
n=2N
x=1/n
とすると
n>N
nx=1
|f_n(x)-1|=|1-nx/(1+nx)|=1/(1+nx)=1/(1+1)=1/2≧1/2=ε
だから
(1)の各点収束は一様収束でない