
テイラー展開について質問です。
A(x+Δx,y+Δy,z(x+Δx,y+Δy)) Δx,Δyは変化量です
これを(x,y)まわりで展開することは出来ますが, z(x,y)まわりで展開する事はできますか?
(x,y)まわり
A(x+Δx,y+Δy,z(x+Δx,y+Δy)) =
A(x,y,z(x,y))+∂A/∂x*Δx+ ∂A/∂y*Δy+・・・
z(x,y)まわり
A(x+Δx,y+Δy,z(x+Δx,y+Δy)) =
A(x,y,z(x,y))+∂A/∂z*Δz(Δx,Δy)+ ・・・
となるのですか?
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
ああ、確かに。
A(x,y,z(x,y)) の (x,y) まわりの展開は
A(x+Δx,y+Δy,z(x+Δx,y+Δy))
= A(x,y,z(x,y)) + (∂A/∂x)Δx + (∂A/∂y)Δy + ・・・
じゃあなく、
A(x,y,z(x,y)) = B(x,y) と置いて
A(x+Δx,y+Δy,z(x+Δx,y+Δy)) = B(x+Δx,y+Δy)
= B(x,y,z(x,y)) + (∂B/∂x)Δx + (∂B/∂y)Δy + ・・・, ←2変数のテイラー展開
ただし
∂B/∂x = (∂/∂x)A(x,y,z(x,y))
= (∂A/∂x)1 + (∂A/∂z)(∂z/∂x),
∂B/∂y = (∂/∂y)A(x,y,z(x,y))
= (∂A/∂y)1 + (∂A/∂z)(∂z/∂y),
…
とかになるよね。
でも、質問は、そこじゃないんじゃない?
No.4
- 回答日時:
z(x, y) という曲面上での A の変化だと思うけど
zの1次の変化分は
Δz = ∂z/∂x・Δx + ∂z/∂y・Δy
で良いと思うけど
知りたいのはそういうこと?
No.3
- 回答日時:
A(x,y,z(x,y)) の z(x,y) が具体的に判っているなら、
A(x,y,z(x,y)) = B(x,y) となる2変数関数 B が判る。
これを「zについて」テイラー展開すると、
B(x,y) = B(x,y) + 0z + 0z^2 + 0z^3 + ... となるかなあ。
しらんけど。
あるいは、(x,y)→z という写像が可逆で
z=z(x,y) ⇔ x = f(x), y = g(z) となる f, g が存在するのであれば、
A(x,y,z(x,y)) = A(f(z),g(z),z) だから
zで普通に「1変数の」テイラー展開ができる。 その場合、
dA/dz = (∂A/∂x)(df(z)/dz) + (∂A/∂y)(dg(z)/dz) + (∂A/∂z)
とか、そんなことになる。
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