1/3乗などの計算方法を教えてください。
パソコン上でなく、手計算の計算方法が知りたいです。
また、(小数)乗の計算の方法についても教えてください。
よろしくお願いします。

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A 回答 (7件)

xのa乗をx^aと書くことにします。



x^aをテイラー展開することを考えます。
aが整数でないときには、x=0の周りで展開することは出来ないので、
x=1の周りで展開すると(収束半径は1)、

x^a=Σa(a-1)(a-2)…(a-n+1)/n!・(x-1)^n

となります(収束に関して適当ですが)。

もしかするとテイラー展開をご存知でないかもしれないので、
結果だけもう一度書いておくと、

aを任意の実数とすると、0<x≦2のもとで、

x^a=1+a/1!・(x-1)^1+a(a-1)/2!・(x-1)^2+…+a(a-1)(a-2)…(a-n+1)/n!・(x-1)^n+…

x>2のときには、適当な2^nをくくりだすと良い。
例えばx=10なら、

x=2×2×2×(10/8)

なので、

x^a=(2^a)^3×(10/8)^a


以上、ぜんぜん厳密にやっていないので間違っているかもしれません。


以下、実際に計算してみました。
x=2として最初の11項だけ計算しています。

aの値 求まった値 実際の値

0.1  1.0682   1.0718
0.2  1.1435   1.1487
0.3  1.2256   1.2311
0.4  1.3144   1.3195
0.5  1.4099   1.4142
1.5  2.8291   2.8284
2.5  5.6566   5.6569

a<0のときは収束がよくないようなので、
まず逆数から求めたほうが良いかもしれません。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
詳しい解説ありがとうございます。
活用させていただきます。

お礼日時:2005/04/20 16:44

1/3乗を筆算で求めるのは大変ですが, 一応方法はあります.


1/2乗 (平方根) の場合には (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 なので, 商として x がたっているときに 2x を脇に記録しておいて, どんな a がいいかを「めのこで」見付けます. これを修正して
(x + a)^3 = x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3 なので, 商として x がたっているときに 3x^2 と 3x を脇に記録しておき, どんな a がいいかを「めのこで」見付ける というものです.

算盤でもほとんど同じで, やはり 2x や 3x^2, 3x を脇においたような気がします.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
この考えをこれから活用させていただきたいと思います。

お礼日時:2005/04/20 16:48

No.5です。


最後の行の分数が逆でした。訂正します。
f(x) = x^2 - A/x
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Aの1/3乗の高精度な公式として、次の式があります。


X=x(x^3 + 2A)/(2 x^3 + A)

適当に見当をつけた近似値をxにいれてXを求めます。さらに高精度にするには、Xをもう一度xに代入します。
(例)
2の立方根 
 x=1 としてX=1.25
 x=1.3としてX=1.259946824
 真の値は1.259921049...

5の立方根
 x=2 として X=1.714
 x=1.7 としてX=1.709975717
 真の値は1.709975946...

7の立方根
 x=2 として 1.913
 x=1.9 としてX=1.912930784
 真の値は1.912931182...

この式は f(x) = x^2 - x/A のニュートン法に相当します。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
詳し解説ありがとうございます。
この考えをこれから活用させていただきたいと思います。

お礼日時:2005/04/20 16:47

f(x)=x^3-a


f(x)=0となるようなxを求めるのには、
ニュートン法を使うといいと思います。
結構早く、イイ値になります。
適当な初期値x=x1(例えばa/3とか)から初めて
xn=x-f(x)/f'(x)
として逐次xにxnを代入します。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
この考えをこれから活用させていただきたいと思います。

お礼日時:2005/04/20 16:46

実際の値を小数点以下第何十位までも求めるのは難しいですね。



cbr(x)を考えるとき、xの前後の値となるa^3とb^3を考えて二分法のように計算していく方法もありますね。

x^(1.1)という計算でも、root(10,x^11)という考えだと手計算は大変ですね。

参考URL:http://yosshy.sansu.org/cbr.htm
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
早速、教えていただいたURLを参考にしたいと思います。

お礼日時:2005/04/20 16:43

平方根の筆算による求め方は、下記URLに有りました。


昔無線の試験勉強と中学校の時に習いましたがさすがに立方根は知りません。
でもきっと昔の人は手とか算盤で求めたと思いますので、有るんでしょうね。
とても面倒くさいそう。

参考URL:http://www.kinomise.com/sokuryo/zatsu/zatu01.pdf
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「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
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 = だいたい400N

あるいは、
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40kg ÷ 0.102kg/N = だいたい400N


>>>1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?

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1kgf = 9.8N
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>>>一応断面積は40mm^2です。

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★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
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 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
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・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
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Q改良土のCBR

改良土のCBRの計算式について質問です。

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未知数が7個、方程式が3つ、なので、残りの未知数4個を定数として与えないと
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ただ
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この式を変形してCBR2=の形にするだけであれば

100CBRm^(1/3)=h1*CBR1^(1/3)+h2*CBR2^(1/3)+h3*CBR3^(1/3)
h2*CBR2^(1/3)=100CBRm^(1/3)-h1*CBR1^(1/3)-h3*CBR3^(1/3)

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Q1.5乗を電卓で計算できるの?

たとえば電卓を用いて「10の1.5乗」ってできるんでしょうか?

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関数電卓なら簡単です。10^1.5= と打てば答えが出ます。「^」の代わりに,「xのy乗」の記号がキーに書かれていることもありますが,使い方は同じです。累乗キーといいます。

関数電卓によっては,「10のx乗」キーがあることもあります(その場合はたいてい,「inv」(インバース)キーを押してから「log」キーを押すことになる)。これを使えばもっと簡単です。ただし,「17の1.5乗」などはできませんが,「10のx乗」キーがあれば普通は累乗キーもあるので,そちらを使えばいいわけです。

累乗キーがない時は,3乗してルート,とすればよいわけです。理由は既に出ている通りです。ただ,No.2の回答はイコールが1回多いですね。10××= = √です(×キーは1回でいい機種もある)。

√キーもないばあいは,かなり難しくなります。多項式展開すれば不可能ではないですが,それよりも√のある電卓を探したほうが早いでしょう。銀行のキャッシュコーナーに最近はよく電卓が貼り付けてありますが,これまで√のない機種に出会ったことはありません。

また,もっと複雑な場合(たとえば10の1.8乗)も,関数電卓を使ったほうがいいでしょう。

関数電卓なら簡単です。10^1.5= と打てば答えが出ます。「^」の代わりに,「xのy乗」の記号がキーに書かれていることもありますが,使い方は同じです。累乗キーといいます。

関数電卓によっては,「10のx乗」キーがあることもあります(その場合はたいてい,「inv」(インバース)キーを押してから「log」キーを押すことになる)。これを使えばもっと簡単です。ただし,「17の1.5乗」などはできませんが,「10のx乗」キーがあれば普通は累乗キーもあるので,そちらを使えばいいわけです。

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Q四分の三乗って?

生物学の本に「4分の3条に比例する」と書いてありました。数学はからっきしだめなので教えてください。2条や3条は分かりますが「四分の三乗」の考え方が分かりません。例えば100の四分の三乗は何でしょう?教えてください。

Aベストアンサー

平方根(√)というのを中学校か高校くらいで習ったと思いますが
この概念が4分の3乗というものと同様です。
たとえば「ルート(2乗根)」は2分の1乗ですし、「3乗根」は3分の1乗です
つまり4分の3乗というのは4乗根の3乗だと考えてもらえればよいかと思います。
ここでN乗根とはN回かけるとその数になるというものです。
たとえば100の4乗根というのは4乗すると100になる数です。
ここで例の100の4分の3乗ですが、100の4乗根はルート2×ルート5なので
(ルート2×ルート5)の3乗ってことになると思います。

Q√の電卓での計算について

電卓でのルートの計算方法がわかりません。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2530529.html

こちらの質問で√の左上の小さな数字が4の場合は√マークを二回押せばいいという事が何となく理解出来たのですが、
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Aベストアンサー

4乗根ならば 2回
8乗根ならば 3回ですが
5乗根などは通常の電卓ではできません。

関数電卓では aのb乗が求める機能があるので
1/5乗を求めると5乗根になります。

aの1/5乗 x aの1/5乗 x aの1/5乗 x aの1/5乗 x aの1/5乗
=aの(1/5+1/5+1/5+1/5+1/5)乗
=aの1乗=a


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