1/3乗などの計算方法を教えてください。
パソコン上でなく、手計算の計算方法が知りたいです。
また、(小数)乗の計算の方法についても教えてください。
よろしくお願いします。

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A 回答 (7件)

xのa乗をx^aと書くことにします。



x^aをテイラー展開することを考えます。
aが整数でないときには、x=0の周りで展開することは出来ないので、
x=1の周りで展開すると(収束半径は1)、

x^a=Σa(a-1)(a-2)…(a-n+1)/n!・(x-1)^n

となります(収束に関して適当ですが)。

もしかするとテイラー展開をご存知でないかもしれないので、
結果だけもう一度書いておくと、

aを任意の実数とすると、0<x≦2のもとで、

x^a=1+a/1!・(x-1)^1+a(a-1)/2!・(x-1)^2+…+a(a-1)(a-2)…(a-n+1)/n!・(x-1)^n+…

x>2のときには、適当な2^nをくくりだすと良い。
例えばx=10なら、

x=2×2×2×(10/8)

なので、

x^a=(2^a)^3×(10/8)^a


以上、ぜんぜん厳密にやっていないので間違っているかもしれません。


以下、実際に計算してみました。
x=2として最初の11項だけ計算しています。

aの値 求まった値 実際の値

0.1  1.0682   1.0718
0.2  1.1435   1.1487
0.3  1.2256   1.2311
0.4  1.3144   1.3195
0.5  1.4099   1.4142
1.5  2.8291   2.8284
2.5  5.6566   5.6569

a<0のときは収束がよくないようなので、
まず逆数から求めたほうが良いかもしれません。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
詳しい解説ありがとうございます。
活用させていただきます。

お礼日時:2005/04/20 16:44

1/3乗を筆算で求めるのは大変ですが, 一応方法はあります.


1/2乗 (平方根) の場合には (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 なので, 商として x がたっているときに 2x を脇に記録しておいて, どんな a がいいかを「めのこで」見付けます. これを修正して
(x + a)^3 = x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3 なので, 商として x がたっているときに 3x^2 と 3x を脇に記録しておき, どんな a がいいかを「めのこで」見付ける というものです.

算盤でもほとんど同じで, やはり 2x や 3x^2, 3x を脇においたような気がします.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
この考えをこれから活用させていただきたいと思います。

お礼日時:2005/04/20 16:48

No.5です。


最後の行の分数が逆でした。訂正します。
f(x) = x^2 - A/x
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Aの1/3乗の高精度な公式として、次の式があります。


X=x(x^3 + 2A)/(2 x^3 + A)

適当に見当をつけた近似値をxにいれてXを求めます。さらに高精度にするには、Xをもう一度xに代入します。
(例)
2の立方根 
 x=1 としてX=1.25
 x=1.3としてX=1.259946824
 真の値は1.259921049...

5の立方根
 x=2 として X=1.714
 x=1.7 としてX=1.709975717
 真の値は1.709975946...

7の立方根
 x=2 として 1.913
 x=1.9 としてX=1.912930784
 真の値は1.912931182...

この式は f(x) = x^2 - x/A のニュートン法に相当します。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
詳し解説ありがとうございます。
この考えをこれから活用させていただきたいと思います。

お礼日時:2005/04/20 16:47

f(x)=x^3-a


f(x)=0となるようなxを求めるのには、
ニュートン法を使うといいと思います。
結構早く、イイ値になります。
適当な初期値x=x1(例えばa/3とか)から初めて
xn=x-f(x)/f'(x)
として逐次xにxnを代入します。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
この考えをこれから活用させていただきたいと思います。

お礼日時:2005/04/20 16:46

実際の値を小数点以下第何十位までも求めるのは難しいですね。



cbr(x)を考えるとき、xの前後の値となるa^3とb^3を考えて二分法のように計算していく方法もありますね。

x^(1.1)という計算でも、root(10,x^11)という考えだと手計算は大変ですね。

参考URL:http://yosshy.sansu.org/cbr.htm
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
早速、教えていただいたURLを参考にしたいと思います。

お礼日時:2005/04/20 16:43

平方根の筆算による求め方は、下記URLに有りました。


昔無線の試験勉強と中学校の時に習いましたがさすがに立方根は知りません。
でもきっと昔の人は手とか算盤で求めたと思いますので、有るんでしょうね。
とても面倒くさいそう。

参考URL:http://www.kinomise.com/sokuryo/zatsu/zatu01.pdf
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参考: 外国人持ち株比率ベスト100
http://www.stockboard.jp/flash/sel/?sel=sel533&tech=&st=7&ud=1&page=1

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株式の50%以上を外国人が持っていれば、もうそれは外資企業と読んでもいいでしょう。
33.3%以上であれば外資系ですね。あくまでも「系」です。3分の2は国内で持っているのですから、日本の企業ですね。
33.3%以上持っていると、議案に対して拒否権を発動できるのです。なので、相当大きな権限を握っていると言えます。
外国人持株比率の低い企業としては、
ポーラオルビス     18%
マネックス証券     24%
マツダ         31%
りそな         24%
TBS          5.2%
テレビ東京       5.9%
テレビ朝日       12.5%
WOWOW       9.9%
放送局は放送法で外国人の比率を20%以下にしなければいけないと決められていますので、当然と言えば当然なのですが・・・
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外国人持株比率が高い企業は、株価が上がる傾向に有ります。日本の投資家は企業に何も言わないので、企業は自分の思うように経営できますが、外国人はとにかくうるさいです。なので経営にも無駄が無くなり、配当も増えていくので株価が上がります。
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Qeの小数乗の計算

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e^(3ln 3) = 27
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e^0.0042 = 1 + 0.0042.
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1=3x

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 http://tomari.org/main/java/dentaku_kansuu.html
 http://www.nifty.com/download/cgi-bin/vec_search.cgi?key=%B4%D8%BF%F4%C5%C5%C2%EE&dir_path=%2Fwin%2Fpersonal%2Fdentaku%2F&srch_max=30
 
 あとは、エクセルとか使えば出ると思いますが。指数関数でa^x a=5,x=5.21として。

Q中学数学 a※b=1/3(a+b)とするとき3※x=5となる xを求めよ。の解き方がわかりません。

中学数学を勉強中です。
下記の問題の解き方が、解説を見てもわかりません。
(PCなので、3分の1を1/3と表現しています。)

【問題】a※b=1/3(a+b)とするとき3※x=5となる
    xを求めよ。
【解説】3※x=1/3(3+x) ←なぜこの式が出てきたのかがわかりません。
    1/3(3+x)=5
    3+x=15
【答え】x=12

3※x=1/3(3+x)の式があれば、x=12なのはわかるのですが、
どこから3※x=1/3(3+x)の式が出てきたのでしょうか。

「a※b=1/3(a+b)とするとき3※x=5」この2つの式に共通する部分が見つけられず、
なぜ2つの式が3※x=1/3(3+x)になるのかわかりません。

また、※=掛け算のことだと思うのですが、そもそもここが間違いなのでしょうか。
問題集に※を使った問題がこれ以外に見つからず、解き方が全く想像できません。
数学が苦手なので、小学生でもわかるくらい易しく教えて下さい。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

以下の画像をご覧下さい.

Q無限乗積1/2/3*4*5/6/7*…の収束値

以下、Γはガンマ関数です。

以前収束する無限乗積を探していたとき、

1/2/3*4*5/6/7*8*9/10/11*… = Π[n=1...∞] {4n(4n-3)/(4n-2)(4n-1)}

が収束しそうだと思いつき、色々と考えていたところ、収束値は

{Γ(3/4)}^2 / √(2π) = 0.599070117367796…

になるようでした。具体的な計算方法はちょっとここには書ききれず、またその計算方法自体適当でこの値に近づくらしい、という所までしかわかりませんでした(ただしガンマ関数を利用しました)。そもそも無限乗積の収束値の計算方法自体、調べてもなかなかみつかりません。

そこで、Π[n=1...∞] {4n(4n-3)/(4n-2)(4n-1)} = {Γ(3/4)}^2 / √(2π) について、
左辺の計算方法または等式の証明を教えていただきたいです。

Aベストアンサー

geshira さんの答で合っています.

Tacosan さんの言われるようにΓ関数の無限乗積表示
(1)  Γ(z) = lim[{m→∞] {m^z m! / Π[m=0→∞] (m+z)}
を使えばできます.
この式に合わせるために,質問の式で n = m+1 として
(2)  m{m+(1/4)} / {m+(1/2)}{(m+(3/4)}
を問題にすればよい.
(3)  m+(1/4) = {[m+(1/4)] / [m^(1/4) m!]} m^(1/4) m!
としますと(他の因子も同様にする),
{} がちょうど(1)の右辺の形になり(逆数ですけれど),
おつりの m^(1/4) m! などの因子は m,m+(1/4),m+(1/2),m+(3/4) の
4つの因子から来るものでキャンセルします.
したがって,質問の無限乗積は
(4)  Γ(1/2)Γ(3/4) / Γ(1)Γ(1/4)
になり,
(5)  Γ(1) = 1
(6)  Γ(1/2) = √π
(7)  Γ(1/4)Γ(3/4) = (√2)π
を使えば geshira さんの答
(8)  Γ(3/4)}^2 / √(2π)
が得られます.
なお,(7)はいわゆる反転公式
(9)  Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(πz)
で z=1/4 とおけば直ちに得られます.

Tacosan さん,以前になにかの質問でご一緒した記憶があります.
批評がましくて何ですが,ばらして
(Πn)[Π(n-3/4)] / {[Π(n-1/2)][Π(n-1/4)]}
としてしまうと,(Πn) などそのものは当然発散してしまいます.

geshira さんの答で合っています.

Tacosan さんの言われるようにΓ関数の無限乗積表示
(1)  Γ(z) = lim[{m→∞] {m^z m! / Π[m=0→∞] (m+z)}
を使えばできます.
この式に合わせるために,質問の式で n = m+1 として
(2)  m{m+(1/4)} / {m+(1/2)}{(m+(3/4)}
を問題にすればよい.
(3)  m+(1/4) = {[m+(1/4)] / [m^(1/4) m!]} m^(1/4) m!
としますと(他の因子も同様にする),
{} がちょうど(1)の右辺の形になり(逆数ですけれど),
おつりの m^(1/4) m! などの因子は m,m+(1/4),m+(1/2),m+(3/4) の
4つの因...続きを読む


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