教えてください。

教えてください。

和 Sn＝1・1＋4・2＋7・2^2＋10・2^3＋……＋（3n－2）・2^n－1を求めよ。

というもんだいがあります。

上の式になぜ×2をするのですか⁇
それと、なぜ×2をしたら
2S＝ 2 ＋4・2^2 ＋…… ＋（3n－5）・2^n－1 ＋（3n－2）・2^n

となるのか詳しく教えてください。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： snowman1996 回答日時： 2012/06/10 11:09

Snの式に2をかけると、

2・Sn=1・1・2+4・2^1・2+7・2^2・2+10・2^3・2………+(3n-5)・2^n-2・2+(3n-2)・2^n-1・2
⇔2Sn=1・2^1+4・2^2+7・2^3+10・2^4+………(3n-5)・2^n-1+(3n-2)・2^n

となります。
こうすると、Snの式から2Snの式を引くとある式が出てくるからです。
なぜ×2なのかというと、Snの式の公比が2だからです。

なぜ最後から2番目と最後の項がこうなるのかというと、
この問題は(等差)×(等比)の和を求めるものだからです。
かけてある2とかを無視すると、1,4,7,10,……,3n-5,3n-2となりますよね。

それで、Snの式から2Snの式を引きますが、項をひとつずらすのがポイントです。

Sn=1・1+4・2^1+7・2^2+10・2^3+………+(3n-2)・2^n-1
-2Sn= 　1・2^1+4・2^2+7・2^3+…………+(3n-5)・2^n-1+(3n-2)・2^n
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
-Sn=1・1+3・2^1+3・2^2+3・2^3+…………+3・2^n-1 -(3n-2)・2^n

となり、等比数列の和が出てきます。

あとは、-Snと-(3n-2)・2^nに注意して式変形するだけです。

説明下手ですみません><

この回答へのお礼

とってもわかりやすかったです‼
丁寧な解説ありがとうございました(o^^o)

お礼日時：2012/06/14 21:57

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/10 11:19

和 Sn＝1・1＋4・2＋7・2^2＋10・2^3＋……＋（3n－2）・2^n－1を求めよ。

というもんだいがあります。

＞上の式になぜ×2をするのですか⁇
＞それと、なぜ×2をしたら
２×Ｓn＝２×（1・1＋4・2＋7・2^2＋10・2^3＋……＋（3n－2）・2^n－1）
２を右側から掛けてみます。
２×Ｓn＝1・1×２＋4・2×２＋7・2^2×２＋10・2^3×２＋……＋（3n－2）・2^(n－1)×２
＝１・２＋４・２^2＋７・２^3＋１０・２^4＋……＋（3n－2）・2^n
２の指数がＳnに比べて１大きくなっています。
よって、
＞2S＝ 2 ＋4・2^2 ＋…… ＋（3n－5）・2^n－1 ＋（3n－2）・2^n

＞上の式になぜ×2をするのですか⁇
Sn＝1・1＋4・2＋7・2^2＋10・2^3＋……＋（3n－2）・2^n－1
2S＝ 　　　　2 ＋4・2^2 ＋…… ＋（3n－5）・2^n－1 ＋（3n－2）・2^n
Ｓn－２Ｓnを計算すると、同じ２のべき乗のところが、
＝１＋｛３・２＋３・２^2＋３・２^3＋……＋３・２^(n-1)｝－（３ｎ－２）・２^n
のようになり、等比数列の和として計算できるからです。

どうでしょうか？

この回答へのお礼

詳しい回答ありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時：2012/06/14 21:56

No.1 回答者： noname2727 回答日時： 2012/06/10 10:49

２Sn＝1・1・２＋4・2・２＋7・2^2・２＋10・2^3・２＋……＋（3n－2）・2^n－1・２

＝ １・2 ＋4・2^2 ＋７・２＾３+１０・２＾４+…… ＋（3n－2）・2^n
よって
２Ｓｎ＝ １・2 ＋4・2^2 ＋７・２＾３+１０・２＾４+…… ＋（3n－2）・2^n
Ｓｎ　＝1・1＋4・2＋7・2^2＋10・2^3＋……＋（3n－2）・2^n－1
上からしたを引くと
Ｓｎ＝-１・１-３・２-３・２＾２-・・・-３・２＾（ｎ-１）+（３ｎー２）・２＾ｎ
＝-１+（３ｎ-２）・２＾ｎ　-３（２+２＾２+・・・+２＾（ｎ-１））
＝-１+（３ｎ-２）・２＾ｎ　-３・２（１-２＾（ｎ-１））/（１-２）
＝5+（３ｎ-5）・２＾ｎ

この回答へのお礼

解説ありがとうございました‼

お礼日時：2012/06/14 21:57