ちなみに、画像の赤い下線部の式をローラン展開の公式 Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-c)^nを利用

ちなみに、画像の赤い下線部の式をローラン展開の公式
Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-c)^nを利用してanの式を導きたいのですが導くまでの過程の計算を教えていただけないでしょうか？

どうかよろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• なるほど
  
  i)0<r<2の場合
  中心1半径rの円
  |z-1|=r
  の内側
  |z-1|<r<2
  で
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
  の
  分母が0になる特異点は
  z=1
  だけだから
  において、0<r<2よりrが1ならば|z-1|=rは|z-1|=1となり、z=0となると思うのですが、なぜz=1が出てきたのですか？

    補足日時：2021/12/31 21:52

• 度々すいません。
  
  a(n)
  =1/(2πi)∳_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz...①
  =1/(2πi)∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz...②
  において、①から②にかけてf(z)が消えたのですが、なぜ消えたのでしょうか？

    補足日時：2021/12/31 22:29

• ありがとうございます。
  
  f(z)=1/(z^2-1)を代入との事ですが、画像よりn=-1の時のf(x)の式を代入したわけでしょうか？
  だとしたら∮やdzが足りない気はします。(私の考えは多分間違っています)
  
  どうやって f(z)=1/(z^2-1)と出てきたのでしょうか？
  過程の計算などはありますでしょうか？

  
    補足日時：2022/01/01 14:58

• ありがとうございます。
  
  ①に代入されるf(z)=1/(z^2-1)は画像のようにn=-1の時として出てきたのでしょうか？(だとしたら∮やdzが足りない気はします)
  
  どうやってf(z)=1/(z^2-1)は出てきたのでしょうか？
  過程の計算などはあるでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/01/01 15:02

• 計算過程を教えてくださりありがとうございます。
  
  ただ、まだf(z)=1/(z^2-1)がどうやって導かれたのかがわかりません。
  というのも過去に調べた際に画像のような式があるためです。
  
  a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzからf(z)=1/(z^2-1)が求められたのでしょうか？
  
  申し訳ないのですが、もう少し分かりやすく教えて頂けるでしょうか？
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/01/01 18:53

• mtrajcpさん度々すいません。
  なぜ画像の赤い下線部の部分はn-1となり、青い下線部の部分はn+2となるのでしょうか？

  
    補足日時：2022/01/06 03:26

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/31 06:06

ローラン展開の求め方は

ローラン級数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC …
に書いてある通り

複素関数
f(z)=1/(z^2-1)
の点
c=1
の周りでの（あるいは点 c=1 を中心とする）ローラン級数は以下で与えられる：

Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-c)^n

ここで、an はコーシーの積分公式の一般化である線積分

a(n)=1/(2πi)∳_{γ}{f(z)/(z-c)^(n+1)}dz

によって与えられる定数である。
…
r>0
γ={z||z-c|=r}
はc=1を中心とする円(または閉曲線でもよい)

です

i)r<2の場合
c=1を中心とする閉曲線γの内側にある極(特異点)は
z=c=1だけだから

a(n)=1/(2πi)∳_{γ}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
を計算すれば
i)0<|z-1|=r<2の場合
のようになる

ii)r>2の場合
c=1を中心とする閉曲線γの内側にある極(特異点)は
z=1,z=-1
の2つになるから

a(n)=1/(2πi)∳_{γ}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
を計算すれば
ii)|z-1|=r>2の場合
のようになる

この回答へのお礼

ありがとうございます。
申し訳ないのですが、anの式を求めるのに場合わけが必要なのはわかりました。

なるほど、既にローラン展開された式からanを求める定数の公式にcやzを代入してanの定数の式を求めたのですね！(合っていますでしょうか？)

質問がございます。
なぜ
ii)r>2の場合の
c=1を中心とする閉曲線γの内側にある極(特異点)は
z=1,z=-1
のz=-1まで考慮するのでしょうか？
多分
ii)|z-1|=r>2がz=1,z=-1となる理由のヒントになるのだとは考えています。

後、もう一つ質問がございます！
どのようにしてi)0<|z-1|=r<2とii)|z-1|=r>2の不等式の式を作ったのでしょうか？

お礼日時：2021/12/31 17:10

No.2 回答者： アンドロメダシティ 回答日時： 2021/12/31 12:38

ⅰ)z=1 は位数1の極

ⅱ)z=1 は主要部が無限個の項をもつのでz=1 は（孤立）真性特異点

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/31 17:34

ii)r>2の場合

a(n)=1/(2πi)∳_{|z-1|=r>2}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
の
積分を計算するために
c=1を中心とする閉曲線γの内側にある極(特異点)はすべて
z=1,z=-1
のz=-1まで考慮する


a(n)=1/(2πi)∳_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
を
計算するために

|z-1|=r の内側の極の数によって
r<2の時は極が1個
と
r>2の時は極が2個
の
場合で
a(n)の積分計算が大きく異なるから

0<|z-1|=r<2
と
|z-1|=r>2

の不等式の式を作った

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すいません。もう少しわかりやすくii)r>2の時にz=-1まで考慮した理由を教えて頂けないでしょうか？

お礼日時：2021/12/31 17:57

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/31 19:25

a(n)

=1/(2πi)∳_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
=1/(2πi)∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz

i)r<2の場合
留数定理から
a(n)はz=1における1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の留数となる

a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},z=1)

ii)r>2の場合
留数定理から
a(n)は1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}のz=1における留数とz=-1における留数の和となる

a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},z=1)+Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},z=-1)

だから

この回答へのお礼

ありがとうございます。

a(n)
=1/(2πi)∳_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
=1/(2πi)∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz・・・①

i)r<2の場合
留数定理から
a(n)はz=1における1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の留数となる

r=0の時、①よりz=1となる。
また、
ii)r>2の場合
留数定理から
a(n)は1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}のz=1における留数とz=-1における留数の和となる

r=3の時、|z-1|=rは|z-1|=3
両辺を二乗してz^2-2z+1=9となる。
まではわかったのですが、ここからどのように
z=±1と導いたのかわかりません。

また、
留数って∮dz/(z-a)が2πiになるときに2πi以外の部分を指すと思うのですが。
なぜa(n)が1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}のz=1における留数とz=-1における留数の和となるのでしょうか？

ちなみに、Resの部分は1/(2πi)∳_{|z-1|=r}を表しているのでしょうか？

お礼日時：2021/12/31 20:42

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/31 21:10

「

r=0の時、①よりz=1となる。
」
は間違いです
r=0には絶対になりません

a(n)
=1/(2πi)∳_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
=1/(2πi)∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz

|z-1|=r
は中心1半径rの円

i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側
|z-1|<r<2
で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
z=1
だけだから
a(n)はz=1における1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の留数となる

a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},z=1)

ii)r>2の場合
中心1半径r>2の円
|z-1|=r
の内側
|z-1|<r>2
で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
z=1
と
z=-1
だから
a(n)は1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}のz=1における留数とz=-1における留数の和となる

a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},z=1)+Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},z=-1)

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/31 21:28

(留数定理)

単純閉曲線γ={z||z-1|=r}
と,
γが囲む有界領域D={z||z-1|<r}
上で定義される関数g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)
がD内に特異点1,-1をもち、それ以外で正則ならば

Res_{z=1}g(z)=(g(z)のz=1での留数)
Res_{z=-1}g(z)=(g(z)のz=-1での留数)

{1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}g(z)dz=Res_{z=1}g(z)+Res_{z=-1}g(z)
が
成り立つ


a(n)
={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz

|z-1|=r
は中心1半径rの円

i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側
|z-1|<r<2
で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
z=1
だけだから
a(n)はz=1における1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の留数となる

a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},z=1)

ii)r>2の場合
中心1半径r>2の円
|z-1|=r
の内側
|z-1|<r>2
で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
z=1
と
z=-1
だから
a(n)は1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}のz=1における留数とz=-1における留数の和となる

a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},z=1)+Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},z=-1)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの
i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側
|z-1|<r<2
で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
z=1
とのことですが式的にz=-1でも分母が0になるのですが...すいません。

お礼日時：2021/12/31 21:46

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/01 06:04

|z-1|<r

で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
が
特異点1,-1をもつことが条件なのです

|z-1|<r<2
で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
z=1

式的にz=-1でも分母が0になるけれども
|z-1|=|-1-1|=2>rだから
z=-1は|z-1|<r<2の範囲に入らない

0<r<2よりrが1ならば|z-1|=rは|z-1|=1となり、z=0となるけれども
z=0は特異点ではないし
|z-1|<r=1の範囲ではない

|z-1|<r=1
で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
z=1
で
|z-1|=0<r=1 だから
z=1
は
|z-1|<r=1の範囲に入る

a(n)
=1/(2πi)∳_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz...①

↓f(z)=1/(z^2-1)　を代入すると

=1/(2πi)∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz...②

この回答へのお礼

「ちなみに、画像の赤い下線部の式をローラン展開の公式
Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-c)^nを利用してanの式を導きたいのですが導くまでの過程の計算を教えていただけないでしょうか？

どうかよろしくお願いします。」
という最初の質問に関して、

「Σのnとz-1の指数を一致させたいというわけですね。それは導出過程を示すことなく簡単に導けますよ。
(1)はn=-1からn=∞にすればいいのです。そうすると
an=(-1)ⁿ⁺¹/2ⁿ⁺²
(2)はn=-∞からn=-2にすればいいのです。そうすると
an=(-1)ⁿ2⁻ⁿ⁻²」
という解答を過去に他の方から頂いたのですが、これは正しいでしょうか？
仮に正しい場合はan=(-1)ⁿ⁺¹/2ⁿ⁺²、an=(-1)ⁿ2⁻ⁿ⁻²を導いたのかの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

また、仮にan=(-1)ⁿ⁺¹/2ⁿ⁺²、an=(-1)ⁿ2⁻ⁿ⁻²が正しい場合は、できれば
教えて頂いた
「i)r<2の場合
留数定理から
a(n)はz=1における1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の留数となる

a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},z=1)④

ii)r>2の場合
留数定理から
a(n)は1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}のz=1における留数とz=-1における留数の和となる

a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},z=1)+Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},z=-1)⑤」
に関して、an=(-1)ⁿ⁺¹/2ⁿ⁺²と④、an=(-1)ⁿ2⁻ⁿ⁻²と⑤が一致する事を表す計算が知りたいです。

最後にResは1/(2πi)∳_{|z-1|=r}を表しているのでしょうか？

3つの質問、どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/01/01 16:37

No.8 回答者： アンドロメダシティ 回答日時： 2022/01/01 14:00

> a(n)

> =1/(2πi)∳_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz...①
> =1/(2πi)∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz...②
> において、①から②にかけてf(z)が消えたのですが、なぜ消えたのでしょうか？
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
　初笑い。笑い殺されるwwwwwwwwwwwwwwww。

　しかし、ひどいなあ。いくら何でも回答者に失礼ではないかね。

　①と②の間に
> ↓f(z)=1/(z^2-1)　を代入すると
とあるではないか。

この回答へのお礼

解答がわからないなら解答しないでください。画面が見にくくなります。

お礼日時：2022/01/01 14:51

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/01 17:16

f(z)=1/(z^2-1)

を
1の周りでのローラン級数は以下で与えられる：

Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n

ここで、an はコーシーの積分公式の一般化である線積分

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz

によって与えられる定数である。
だから

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{f(z)/(z-c)^(n+1)}dz
の
f(z)に1/(z^2-1)
を
代入したのです
これはローラン展開の定義なのです

i)

Σ_{n=0～∞}[{(-1)^n}/2^(n+1)](z-1)^(n-1)

↓k=n-1とすると

=Σ_{k=-1～∞}[{(-1)^(k+1)}/2^(k+2)](z-1)^k

↓kをnに置き換えると

=Σ_{n=-1～∞}[{(-1)^(n+1)}/2^(n+2)](z-1)^n=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n

だから

a(n)={(-1)^(n+1)}/2^(n+2)

ii)

Σ_{n=0～∞}[{(-1)^n}2^(n+1)]/(z-1)^(n+2)
=Σ_{n=0～∞}[{(-1)^n}2^(n+1)](z-1)^(-n-2)

↓k=-n-2とするとn=-k-2だから

=Σ_{k=-∞～-2}[{(-1)^(-k-2)}2^(-k-1)](z-1)^k
=Σ_{k=-∞～-2}[{(-1)^(-k)}2^(-k-1)](z-1)^k

↓kをnに置き換えると

=Σ_{n=-∞～-2}[{(-1)^(-n)}2^(-n-1)](z-1)^n=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n

だから

a(n)={(-1)^(-n)}2^(-n-1)

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/01/01 20:47

f(z)=1/(z^2-1)

は導かれたものではありません

f(z)=1/(z^2-1)
は
画像の第1行目で
与えられたものなのです

与えられた
f(z)=1/(z^2-1)
の
z=1の周りでのローラン展開を求めるという問題なのです

この回答へのお礼

丁寧に説明して下さりありがとうございます。

ちなみに、最後にResは1/(2πi)∳_{|z-1|=r}を表しているのでしょうか？

お礼日時：2022/01/01 23:29