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3次関数f(x)=x~3-9x~2+12x-1で、(極大値)-(極小値)の値を求めよ。 という問題の解答のf(x)=(x~2-6x+4)(x-3)-10x+11がなぜ必要で、どこから考えているのかわかりません。教えて下さい。

「3次関数f(x)=x~3-9x~2+12」の質問画像

A 回答 (3件)

>問題の解答のf(x)=(x~2-6x+4)(x-3)-10x+11がなぜ必要で、どこから考えているのかわかりません。

教えて下さい。

そうしなければ解けない、というわけではないが、そのように進めると計算が簡単になり、計算間違いを防げる。

普通は以下のように解くだろう。

f´(x)=x^2-6x+4=0の2解をα、β(α>β)とすると、x=βで極大、x=αで極小になる。
又、解と係数から、α+β=6、αβ=4から、(極大値)-(極小値)=f{β}-f{α}=(β-α)*{{α+β}^2-αβ-9{α+β}+12}となる。
{β-α}^2={α+β}^2-4αβ=20. α>β から β-α=-2√5 であるから、(極大値)-(極小値)=20√5 となる。

極値を求めるときに計算を楽にするために、x^3-9x^2+12x-1={x^2-6x+4}*{x-3}-10x+11 という恒等式 {実際に、x^3-9x^2+12x-1 を x^2-6x+4で割ると、そうなるだろう}を使う。
たまたま、x^2-6x+4=0であったから、x^3-9x^2+12x-1={x^2-6x+4}*{x-3}-10x+11=-10x+11
となるから、(極大値)-(極小値)={11-10β}-{11-10α}=10{α-β}
{α-β}^2={α+β}^2-4αβ=20. α>β から α-β=2√5 で同じ結果になる。
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この回答へのお礼

皆様大変素早い回答をありがとうございました。的確な回答で皆様非常にわかりやすかったです。機会がありましたら、今後も宜しくお願い致します。

お礼日時:2010/08/27 18:45

f(α),f(β)の値を楽に求める方法をとっています。


剰余の定理の応用です。

例えば、
f(x)=x^3+x^2-2x+3、α=1-√2 の場合に、
f(α)の値を求めたいときなど、そのままαを代入せず、

f(x)=(x^2-2x-1)(x+3)+5x+6

と変形して、αの値を剰余部分のみに代入し、
  f(α)=5α+6=11-5√2
と計算します。

x^2-2x+3=0 は α=1-√2 を解にもちますから、α^2-2α+3=0 です。

べつにこのような方法をとらなくても求まりますが、楽に計算でき、ミスも回避できる利点があります。
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この回答へのお礼

皆様大変素早い回答をありがとうございました。的確な回答で皆様非常にわかりやすかったです。機会がありましたら、今後も宜しくお願い致します。

お礼日時:2010/08/27 18:46

f(x)=x^3-9x^2+12x-1


f'(x)=3(x^2-6x+4)=3((x-3)^2-5))

x=3±√5で極値、
-∞~3-√5:増加
3-√5~3+√5:減少
3+√5~∞:増加

問題は極大値、極小値の計算です
x=3±√5をf(x)=x^3-9x^2+12x-1へ代入して
計算すればいいのですがいささか面倒です。
ここでx=3±√5はx^2-6x+4=0を満たすので
f(x)をこれで割り算してあまりを出しておくと

f(x)=(x^2-6x+4)(x-3)-10x+11
(x^2-6x+4)(x-3)は0

よって-10x+11にx=3±√5を代入すると計算が
簡単というだけの話です。

でも役に立ちます。
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この回答へのお礼

皆様大変素早い回答をありがとうございました。的確な回答で皆様非常にわかりやすかったです。機会がありましたら、今後も宜しくお願い致します。

お礼日時:2010/08/27 18:47

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