関数の表し方について教えてください。

少し見づらいかもしれませんが、つまり関数同士をたす式です。文字の大きさが実際のものと違いますが、数学の授業で習ったものなので想像はつくと思います。ａのあとのｎは小さい文字で、Ｘ（エックス）のあとのｎは二乗とかで表記する上につく文字です（呼び方がわかりませんごめんなさい）
私がわからないのは、ａｎＸｎから始まって次にａｎ－１Ｘｎ－１と少なくしているところです。ａｎＸｎの次はａｎ＋１Ｘｎ＋１ではおかしいのでしょうか。本では平然と載せてあるのですが、これは数学の常識でしょうか。
ａｎＸｎ＋ａｎ－１Ｘｎ－１＋ａｎ－２Ｘｎ－２＋ａｎ－３Ｘｎ－３＋・・・＋ａ１Ｘ＋ａ０

No.1 ベストアンサー 回答者： hinebot 回答日時： 2003/01/11 22:18

こんばんは。

まず、表記から。
>aのあとのｎは小さい文字で
添え字ですね。これは、人によってまちまちですが、一応a[n]と表すことにします。
>Ｘ（エックス）のあとのｎは二乗とかで表記する上につく文字です
指数（累乗）ですね。これは、普通"＾"の記号を使って、X^n という風に表します。

以上を踏まえ、
ａｎＸｎ＋ａｎ－１Ｘｎ－１＋ａｎ－２Ｘｎ－２＋ａｎ－３Ｘｎ－３＋・・・＋ａ１Ｘ＋ａ０
を書き換えると
ａ[ｎ]Ｘ^ｎ＋ａ[ｎ－１]Ｘ^(ｎ－１)＋ａ[ｎ－２]Ｘ^(ｎ－２)＋ａ[ｎ－３]Ｘ^(ｎ－３)＋・・・＋ａ[１]Ｘ＋ａ[０]
となります。

さて、本題ですが、
まず、a[1]X は　a[1]X^1 で^1 が省略されている
また、a[0] は a[0]X^0 で、X^0 が省略されている
ということはＯＫでしょうか。

で、この式はＸを変数とする正式で、Ｘの次数をだんだん減らしているんですね。
（次数ってわかりますか？　…もし。分からなければ補足ください。）

で、整式を書く場合、次数の高い方から並べるという決まり（というか約束）があります。a[n]X^n の次がa[n-1]X^(n-1)になっているのは、そういうわけです。

※この式そのものが、どういう過程で出てきたものかの説明がないので、この程度しか回答できません。

No.4 回答者： jmh 回答日時： 2003/01/11 23:51

横着な人（jmh）が、

　　ａ＋ｂＸ＋ｃＸ^２＋…
とか、
　　αＸ^２＋σ(その他の項)
というような感じのことを平然と書いているのを見たことが
あります（「…」の項や「σ」に興味がないときに）。

その本では「Ｘの多項式のＸ^ｋの係数」に興味があるのでしょう。
この表現では「Ｘ^ｋの係数」＝ａ[ｋ]です。
便利なので、そうしただけだと思います。

No.3 回答者： tnt 回答日時： 2003/01/11 23:29

変数（ここではan）が何乗されるかで、この式が表すものが違ってきます。

つまり、頭のanXnはとても大事なのです。

一方、最後のa1は単なる定数です。
これが変わっても式全体としてはほとんど意味を持ちません。

たとえば、普通のグラフの式を考えてみて下さい。
Ｘが３乗されているか、２乗しかされていないかで、
Ｙの取りうる範囲は大きく変わりますね。
そして、その途中の変化の具合が、Ｘの２乗、１乗の項にあります。
そこからいくと、最後の定数の項は、単にＹの値が
横（正しくは上下）にずれるだけの効果しか持ちません。
グラフのカーブは変わらないわけです。

よって、大切な次数の高い項目から順番に書いています。

さて、実はこうして表記すると、もう一つメリットがあります。
それはこの式を解くときで、
たとえば、因数分解では、最終的にはその次数（はじめのｎ）の分だけ
因数分解するのが目標となりますが、複数の未知数（Ｘ，Ｙ，Ｚ）が
あるときには、次数の少ない物でまとめるというのが
一般的な手法となっています。
次数の高い物が左、低い物が右　としておけば、
次数の少ない物で全体を整理したときにきれいに並びます。
もうひとつ、式同士を加算、減算したときにも、メリットがあります。
ｘ＾２の式とｘ＾４の式を足したときに、ｘの次数を合わせやすいのです。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿２ｘ＾２＋３ｘ＾１＋４ｘ＾０＝０
５ｘ＾４＋４ｘ＾３＋３ｘ＾２＋２ｘ＾１＋１ｘ＾０＝０
この両辺を足して
５ｘ＾４＋４ｘ＾３＋５ｘ＾２＋５ｘ＾１＋５ｘ＾０＝０
という計算をする場合があるのですが、
（＿＿は桁を揃えるために入れていますがずれていたらごめんなさい）
これを書く順番を逆にすると
上式は
４ｘ＾０＋３ｘ＾１＋２ｘ＾２＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝０
となり、式の途中に空白をつくらないと上手く計算できなくなってしまいます。

No.2 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/01/11 22:59

ｘの２乗　というのを　ｘ＾２　と書くことにします。

これはインターネット上では一般的に使われる書き方です。

質問の内容から見ると高校生ぐらいかと思うのですが
（違っていたらごめんなさい）
たとえば２次式
ｘ＾２＋ｘ＋１
という表し方は普通に使いますよね。

これをあなたの感覚では、逆から
１＋ｘ＋ｘ＾２
とした方が良い、ということになります。（確かにそういう表し方もあります）

実際の計算ではどちらが良いか。一長一短があります。
が、何次式になるか分かった方がやりやすいことが多いですね。
特に２次式や３次式のように小さいとき。

・・・ａｎＸｎの次はａｎ＋１Ｘｎ＋１ではおかしいのでしょうか・・

逆に質問ですが、それだとどこまで行って終わりになるのでしょう。

だからｎから始めて定数で終わるか、
定数から始めてｎで終わるかどちらかです。