ちなみに、画像の赤い下線部の式をローラン展開の公式 Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-c)^nを利用

ちなみに、画像の赤い下線部の式をローラン展開の公式
Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-c)^nを利用してanの式を導きたいのですが導くまでの過程の計算を教えていただけないでしょうか？

どうかよろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• なるほど
  
  i)0<r<2の場合
  中心1半径rの円
  |z-1|=r
  の内側
  |z-1|<r<2
  で
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
  の
  分母が0になる特異点は
  z=1
  だけだから
  において、0<r<2よりrが1ならば|z-1|=rは|z-1|=1となり、z=0となると思うのですが、なぜz=1が出てきたのですか？

    補足日時：2021/12/31 21:52

• 度々すいません。
  
  a(n)
  =1/(2πi)∳_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz...①
  =1/(2πi)∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz...②
  において、①から②にかけてf(z)が消えたのですが、なぜ消えたのでしょうか？

    補足日時：2021/12/31 22:29

• ありがとうございます。
  
  f(z)=1/(z^2-1)を代入との事ですが、画像よりn=-1の時のf(x)の式を代入したわけでしょうか？
  だとしたら∮やdzが足りない気はします。(私の考えは多分間違っています)
  
  どうやって f(z)=1/(z^2-1)と出てきたのでしょうか？
  過程の計算などはありますでしょうか？

  
    補足日時：2022/01/01 14:58

• ありがとうございます。
  
  ①に代入されるf(z)=1/(z^2-1)は画像のようにn=-1の時として出てきたのでしょうか？(だとしたら∮やdzが足りない気はします)
  
  どうやってf(z)=1/(z^2-1)は出てきたのでしょうか？
  過程の計算などはあるでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/01/01 15:02

• 計算過程を教えてくださりありがとうございます。
  
  ただ、まだf(z)=1/(z^2-1)がどうやって導かれたのかがわかりません。
  というのも過去に調べた際に画像のような式があるためです。
  
  a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzからf(z)=1/(z^2-1)が求められたのでしょうか？
  
  申し訳ないのですが、もう少し分かりやすく教えて頂けるでしょうか？
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/01/01 18:53

• mtrajcpさん度々すいません。
  なぜ画像の赤い下線部の部分はn-1となり、青い下線部の部分はn+2となるのでしょうか？

  
    補足日時：2022/01/06 03:26

No.2 回答者： アンドロメダシティ 回答日時： 2021/12/31 12:38

ⅰ)z=1 は位数1の極

ⅱ)z=1 は主要部が無限個の項をもつのでz=1 は（孤立）真性特異点

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/31 06:06

ローラン展開の求め方は

ローラン級数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC …
に書いてある通り

複素関数
f(z)=1/(z^2-1)
の点
c=1
の周りでの（あるいは点 c=1 を中心とする）ローラン級数は以下で与えられる：

Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-c)^n

ここで、an はコーシーの積分公式の一般化である線積分

a(n)=1/(2πi)∳_{γ}{f(z)/(z-c)^(n+1)}dz

によって与えられる定数である。
…
r>0
γ={z||z-c|=r}
はc=1を中心とする円(または閉曲線でもよい)

です

i)r<2の場合
c=1を中心とする閉曲線γの内側にある極(特異点)は
z=c=1だけだから

a(n)=1/(2πi)∳_{γ}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
を計算すれば
i)0<|z-1|=r<2の場合
のようになる

ii)r>2の場合
c=1を中心とする閉曲線γの内側にある極(特異点)は
z=1,z=-1
の2つになるから

a(n)=1/(2πi)∳_{γ}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
を計算すれば
ii)|z-1|=r>2の場合
のようになる

この回答へのお礼

ありがとうございます。
申し訳ないのですが、anの式を求めるのに場合わけが必要なのはわかりました。

なるほど、既にローラン展開された式からanを求める定数の公式にcやzを代入してanの定数の式を求めたのですね！(合っていますでしょうか？)

質問がございます。
なぜ
ii)r>2の場合の
c=1を中心とする閉曲線γの内側にある極(特異点)は
z=1,z=-1
のz=-1まで考慮するのでしょうか？
多分
ii)|z-1|=r>2がz=1,z=-1となる理由のヒントになるのだとは考えています。

後、もう一つ質問がございます！
どのようにしてi)0<|z-1|=r<2とii)|z-1|=r>2の不等式の式を作ったのでしょうか？

お礼日時：2021/12/31 17:10