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a,b,cを定数とし、三次方程式x^3+ax^2+bx+c=0の三つの解をA、B、C(A<B<C)とする。A+B+C=4、A^2+B^2+C^2=14、A^3+B^3+C^3=34のとき、次の問いに答えよ。
(1)a,b,cをA,B,Cを用いて表せ。
(2)a,b,cの値を求めよ。
という問題です。
(1)はできました。a=-A-B-C,b=AB+BC+CA,c=-ABCですよね。
(2)もa=-4,b=1まではでました。(a=-(A+B+C)よりa=-4)(A^2+B^2+C^2=(A+B+C)^2-2(AB+BC+CA)より14=4^2-2bだからb=1)
でもどうしてもcがでません(泣)。
ABCをどうにかして式の中に登場させればいいのでしょうが。。
どうかよろしくお願いいたします。

A 回答 (2件)

公式



x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

を用います。


A^3+B^3+C^3-3ABC=(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)

34-3ABC=4(14-1)

ABC=-6
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この回答へのお礼

わかりやすい解説ありがとうございます。
おかげで助かりました。
次からは解けそうです。

お礼日時:2014/05/12 14:22

>(A+B+C)^3を展開すればABCが登場し、(A+B+C)(A^2+B^2+C^2)を展開すれば


ABC=-6が計算できます。
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