バスケの得点、フィボナッチ数列との関連

バスケの得点は、シュートごとに２点か３点増えます。
たとえば、７点をとるには、
２＋２＋３
２＋３＋２
３＋２＋２
の３通りあります。

n点をとる場合の数をa[n]とします。
n点をとるには、n-2点から2点増えるときと、
n-3点から3点増えるときがあるので、

a[n]=a[n-2]+a[n-3]
a[1]=0
a[2]=1
a[3]=1

となります。
この一般項a[n]はなんになるのでしょうか？

また、こういった問題の発展的話題があれば教えてください。

フィボナッチ数列とにているので、様々な性質があるように思いますが、類似の性質はあるのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： kts2371148 回答日時： 2007/06/13 21:34

一般項は、x^3-x-1=0 の解を α,β,γ とすると、

a[n] = (1/23)(9+3α-2α^2)α^n
+ (1/23)(9+3β-2β^2)β^n + (1/23)(9+3γ-2γ^2)γ^n
となります。導き方は、
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
を参考にすることができます。

そして、一般項を実数で（つまり i を含まない式で）表すこともできます。
http://okwave.jp/qa3063590.html を参考にしてみてください。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/396_ … によると、
この数列はパドヴァン数列と呼ばれるようです。
そして、生成規則はそのままで最初の項を
a[0]=3 , a[1]=0 , a[2]=2 にするとペラン数列と呼ばれる数列になり、
ペラン数列は「n が素数のとき、a[n] は n で割り切れる」という
興味深い性質があります。

この回答へのお礼

ありがとうごじあました。

お礼日時：2007/06/16 23:27

No.6 回答者： banakona 回答日時： 2007/06/14 10:01

＃２です。

komimasaH様、お騒がせしました。
（ワケあって夜はネットを使えないのでお詫びが遅れました。）

＞「複素数のまま」計算する必要があることを失念されていたのではないでしょうか

その通りです。orz
単純に偏角と絶対値を求めて、ドモアブルの定理で実部だけ計算していました。

私も再計算してkomimasaH様と同様のC1,C2,C3を算出できました。
どうにも使う気にはなれない一般項ですね。

No.5 回答者： komimasaH 回答日時： 2007/06/14 04:47

a[n]=a[n-2]+a[n-3]

がフィボナッチ数列の定義でしょ？
バスケでは成り立つのは当たり前なのでは。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/06/13 17:47

主に #2 の回答に向けて, ですが:

すみません, 3次方程式を解きたくなかったので逃げてしまいました.
方程式の解はそれで合っていると思います. ただ, 係数 c1, c2, c3 を計算するときに, 「複素数のまま」計算する必要があることを失念されていたのではないでしょうか.
メモと電卓を駆使した手元計算だと, (有効桁 2桁程度で)
c1 = 0.41, c2 = 0.29 + 0.14i, c3 = 0.29 - 0.14i
くらいの値になっています. Google で a[1]～a[3] まで検証して, 2桁の精度であっていることを確認しています.

No.2 回答者： banakona 回答日時： 2007/06/13 17:08

＃１さんの続きをやってみました。

方程式　x^3 = x+1　を数値的に解いてみたら
実数解　ｘ＝1.32471795724475
虚数解　ｘ＝-0.662358978622373±0.562279499068826ｉ
となりました。＃１さんの記号を借りてｘ１が実数解とすると、a[n]は整数なので、虚数解のｎ乗の実部のみを計算し、これとｘ１のｎ乗とから、エクセルでc1, c2, c3を算出したら、次のようになりました。

c1≒0.5, c2＝c3≒0.5

でもこの値を使うと、結構な誤差が出るんです。
a[n] =｛0,1,1.5,1,2.5,2.5,3.5,5,6,・・・｝
実際には
a[n] =｛0,1,1,1,2,2,3.4,5,7,・・・｝
なので無視できないですね。でも漸化式はｎ＞４で満たしているようなので（ぜんぜん数学的じゃないけれどｎ＝３０まで調べました）「惜しい」と思います。
ｎ＝３で早くも大きな誤差がでているので、ｎ乗の累積誤差ではなく解自体の誤差が原因だと思うのですが・・・

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/06/13 13:48

理屈のうえからは, x^3 = x+1 の解 x1, x2, x3 を使って

a[n] = c1 x1^n + c2 x2^n + c3 x3^n (c1, c2, c3 は初期値 a[1], a[2], a[3] で決まる定数)
と書ける, はず.