因数分解を教えて下さい

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質問者：yuki0077
質問日時：2008/11/25 14:25
回答数：7件

４x^4-３x^2＋９
が解けず、答えを見ても何故こうなるのかが理解できません。
答えは(２x^2-３x＋３)(２x^2+３x+３)
詳しく解説してくれる方いませんでしょうか？
(公式に当てはめるのであれば、その公式名？も教えて頂けたら嬉しいです)
よろしくお願いします。

※xはエックス、^4や^2は4乗や2乗です。

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回答 (7件)

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No.7

回答者： R_Earl
回答日時：2008/11/25 15:19

x^4 - 3x^2 + 9を、(x^2 + s)^2 - t^2という形に変形すると(sとtは定数)、

a^2 - b^2の形なので(a + b)(a - b)の形に変形できます。
平方完成に近い解き方です。
普通の平方完成と違うのは、平方完成では定数を足したり引いたりしていましたが、
このタイプの問題ではx^2の項を足したり引いたりして(x^2 + s)^2 - t^2の形に持っていきます。

まず、x^4 - 3x^2 + 9を眺めて下さい。
x^2の項を足したり引いたりして、(x^2 + a)^2の形を作るにはどうすればいいかを考えます。
そうすると、『x^4 - 6x^2 + 9の形なら、(x^2 - 3)^2に因数分解できそう』と思いませんか？
あるいは、『x^4 + 6x^2 + 9の形なら、(x^2 + 3)^2に因数分解できそう』と思いませんか？
そう思ったら、早速その形にもっていきます。

[1] x^4 - 3x^2 + 9からx^4 - 6x^2 + 9を作る

x^4 - 3x^2 + 9
= x^4 - 3x^2 + 9 - 3x^2 + 3x^2　（-6x^2を作るため、-3x^2を足して引く）
= x^4 - 6x^2 + 9 + 3x^2　(一番右の+3x^2は計算せずに残す)
= (x^2 - 3)^2 + 3x^2　（x^4 - 6x^2 + 9だけ因数分解した）

これだとa^2 + b^2の形なので因数分解できません。

[2] x^4 - 3x^2 + 9からx^4 + 6x^2 + 9を作る

x^4 - 3x^2 + 9
= x^4 - 3x^2 + 9 + 9x^2 - 9x^2　（+6x^2を作るため、9x^2を足して引く）
= x^4 + 6x^2 + 9 - 9x^2　(一番右の-9x^2は計算せずに残す)
= (x^2 + 3)^2 - 9x^2　（x^4 + 6x^2 + 9だけ因数分解した）

これならa^2 - b^2の形なので、因数分解できます(a = x^2 + 3、b = 3x)。

(x^2 + 3)^2 - 9x^2
= (x^2 + 3)^2 - (3x)^2
= { (x^2 + 3) + 3x }{ (x^2 + 3) - 3x }
= (x^2 + 3x + 3)(x^2 - 3x + 3)

> (公式に当てはめるのであれば、その公式名？も教えて頂けたら嬉しいです)

公式があったかどうかは知りませんが、参考書などには
『複二次の因数分解』という項目に解法が載っていると思います。