因数分解を教えて下さい

４x^4-３x^2＋９
が解けず、答えを見ても何故こうなるのかが理解できません。
答えは(２x^2-３x＋３)(２x^2+３x+３)
詳しく解説してくれる方いませんでしょうか？
(公式に当てはめるのであれば、その公式名？も教えて頂けたら嬉しいです)
よろしくお願いします。

※xはエックス、^4や^2は4乗や2乗です。

No.7 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/11/25 15:19

x^4 - 3x^2 + 9を、(x^2 + s)^2 - t^2という形に変形すると(sとtは定数)、

a^2 - b^2の形なので(a + b)(a - b)の形に変形できます。
平方完成に近い解き方です。
普通の平方完成と違うのは、平方完成では定数を足したり引いたりしていましたが、
このタイプの問題ではx^2の項を足したり引いたりして(x^2 + s)^2 - t^2の形に持っていきます。

まず、x^4 - 3x^2 + 9を眺めて下さい。
x^2の項を足したり引いたりして、(x^2 + a)^2の形を作るにはどうすればいいかを考えます。
そうすると、『x^4 - 6x^2 + 9の形なら、(x^2 - 3)^2に因数分解できそう』と思いませんか？
あるいは、『x^4 + 6x^2 + 9の形なら、(x^2 + 3)^2に因数分解できそう』と思いませんか？
そう思ったら、早速その形にもっていきます。

[1] x^4 - 3x^2 + 9からx^4 - 6x^2 + 9を作る

x^4 - 3x^2 + 9
= x^4 - 3x^2 + 9 - 3x^2 + 3x^2　（-6x^2を作るため、-3x^2を足して引く）
= x^4 - 6x^2 + 9 + 3x^2　(一番右の+3x^2は計算せずに残す)
= (x^2 - 3)^2 + 3x^2　（x^4 - 6x^2 + 9だけ因数分解した）

これだとa^2 + b^2の形なので因数分解できません。

[2] x^4 - 3x^2 + 9からx^4 + 6x^2 + 9を作る

x^4 - 3x^2 + 9
= x^4 - 3x^2 + 9 + 9x^2 - 9x^2　（+6x^2を作るため、9x^2を足して引く）
= x^4 + 6x^2 + 9 - 9x^2　(一番右の-9x^2は計算せずに残す)
= (x^2 + 3)^2 - 9x^2　（x^4 + 6x^2 + 9だけ因数分解した）

これならa^2 - b^2の形なので、因数分解できます(a = x^2 + 3、b = 3x)。

(x^2 + 3)^2 - 9x^2
= (x^2 + 3)^2 - (3x)^2
= { (x^2 + 3) + 3x }{ (x^2 + 3) - 3x }
= (x^2 + 3x + 3)(x^2 - 3x + 3)

> (公式に当てはめるのであれば、その公式名？も教えて頂けたら嬉しいです)

公式があったかどうかは知りませんが、参考書などには
『複二次の因数分解』という項目に解法が載っていると思います。

No.6 回答者： info22 回答日時： 2008/11/25 15:09

> x^4-３x^2＋９

なら
=(x^2+3)^2-(3x)^2
=(x^2+3-3x)(x^2+3+3x)
=(x^2-3x+3)(x^2+3x+3)
です。

A=x^2+3,B=3xとして
公式：A^2-B^2=(A-B)(A+B)
を適用できる式の形に変形すればいいだけです。

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2008/11/25 15:01

＞4x^4じゃなくてx^4でした！！；；

それなら、答が間違い。

x^4-3x^2＋9＝（x＾2＋3）＾2-（3x）＾2＝（x＾2＋3＋3x）*（x＾2＋3-3x）

No.4 回答者： ruto 回答日時： 2008/11/25 15:00

>４x^4-３x^2＋９

この式を（aｘ^2+b)^2－ｃ^2・x^2の形にし
（ａx^2+b+cx)(ax^2+b-cx)にすればいい。
（2x^2+3)^2－9（＝４x^4-３x^2＋９）になるので、
変形し整理すれば
(２x^2-３x＋３)(２x^2+３x+３)になる。

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2008/11/25 14:41

＞４x^4-３x^2＋９

問題の転記ミス、答から逆算すると。

4x^4＋3x^2＋9＝｛2x＾2＋3｝＾2－｛3x｝＾2＝(２x^2-３x＋３)(２x^2+３x+３)
　

この回答へのお礼

ああ！！！すみません！
4x^4じゃなくてx^4でした！！；；
ごめんなさい～

お礼日時：2008/11/25 14:44

No.2 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/11/25 14:30

すみません。

うまくいきませんでした。#1は無視してください。

この回答へのお礼

問題間違えてました～；；
すみません；；

お礼日時：2008/11/25 14:47

No.1 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/11/25 14:26

x^2=Aと置いてみてください。