数学の大学入試問題の解き方

Oを原点とする座標平面上の点Pn(Xn,Yn)(n=1,2,3,••••)は次のように帰納的に定義されている。
X1=1 Y1=√5
Xn+1=1/6(4Xn-√2Yn)
Yn+1=1/6(√2Xn+4Yn) (n=1,2,3••••)

また線分OPnの長さをpn, ∠PnOPn+1=θn
線分PnPn+1の長さをLnとする

すべての自然数nについて

pn+1=アpn
cosθn=イ
Ln=ウpn

このア,イ,ウについて解く時に行列を用いずに解く方法はありますか？

ありましたら長くなっても構いませんので詳しく解答をしていただけるとありがたいです

No.2 ベストアンサー 回答者： dreamfighter 回答日時： 2012/02/02 20:58

行列を使うのって、X1=1 Y1=√5,Xn+1=1/6(4Xn-√2Yn),Yn+1=1/6(√2Xn+4Yn) (n=1,2,3••••)

の連立漸化式を解くときに使うんですよね。でその時にうまい変形をして、回転行列にする。

それをしないのならば、

（１）連立漸化式を普通に解く。Xn+1 + αYn+1 =β(Xn + αYn)の形にして解く。

（２）(1)のXn Yn を使って、アは気合で長さを計算する。

（３）イは△OPnPn+1で余弦定理を気合でやる。

（４）ウは２点間の距離を気合で計算する。

こんなところでしょうか？私は計算したくないので頑張ってね。

この回答へのお礼

お礼が遅くなりました。わかりやすい解説ありがとうございました＾＾

お礼日時：2012/05/29 11:09

No.1 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2012/02/02 20:45

アは(Xn^2＋Yn^2)の漸化式が求まれば求まります。

与えられた式をそれぞれ自乗して足してみたらそれほど難しくは無いと思います

ウは{(Xn+1-Xn)^2+(Yn+1-Yn)^2}を与えられた式から計算すれば、
これも(Xn^2+Yn^2)の式で書けるのででます

イはアとウを余弦定理に代入したら出ると思います

この回答へのお礼

解説ありがとうございました＾＾

お礼日時：2012/05/29 11:09