物理の剛体の問題で、力学的エネルギー保存則を考える時 θの最大値Θまできたら速度は0、角速度も0と考

Question

物理の剛体の問題で、力学的エネルギー保存則を考える時
θの最大値Θまできたら速度は0、角速度も0と考えていいのでしょうか？
Iω^2/2 の回転運動エネルギーは回転してなかったら0という考え方であってますか？

yhr2 · Accepted Answer

No.3 です。「お礼」に書かれたことについて。

＞初期条件はなく
＞問題がωをθの関数で表せという問題です。

＞剛体問題における力学的エネルギー保存則で
＞今回の問題においてv=0のときはωも0になるのかということです。。

それは力学的エネルギー云々は関係なくて、「滑り」がないので、#2 さんが書かれているように

＞v = (a - b)dθ/dt
＞ω = (a/b)(dθ/dt)

に尽きます。

球の重心位置の速度 v は、半径が (a - b) なので
　v = (a - b)dθ/dt　　　①

そのときの円筒上の周速度は
　V = a･dθ/dt
なので、この周速度で回る球の角速度 ω は
　ω = V/b = (a/b)dθ/dt　　　②

これに、①より
　dθ/dt = [1/(a - b)]v
を代入して

ω = (a/b)(dθ/dt) = [(a/b)/(a - b)]v
　　= [a/(ab - b^2)]v　　　　　　　　　③

これが求める答でしょう。

当然のことながら、最高点で θ の変化率が一瞬ゼロになる、つまり
　dθ/dt ＝０
になれば
　v = 0
　ω = 0
になります。

tknakamuri · Answer

>(1/2)mv²+(1/2)Iω²+a(1-cosθ)mg=一定。

おっと訂正
(1/2)mv²+(1/2)Iω²+{(a-b)(1-cosθ)+b}mg=一定。
申し訳ない。重力ポテンシャルは地面を基準としました。

でv=0の時ωも当然ゼロです。
その時ポテンシャルが最も大きくなり、θは最大になります。

yhr2 · Answer

力学的エネルギー保存は

(1/2)mv^2 + (1/2)Iω^2 + (a - b)(1 - cosθ)mg = 一定

ですかね。第3項は「球の重心の位置エネルギー」だと思いますので。

質問者さんが何を求めたいのか分かりませんが、そのための「初期条件」がないと何も定まらないような気がします。

「最大の θ」を求めるためには、「θ = 0 のときの速度」とかが必要かと思います。
逆に、ふつうは「静止状態から手を放す角度θ」を与えて、「θ = 0 のときの速度（重心の速度、回転角速度）」を求めるとか。

tknakamuri · Answer

成る程、円筒内面にはがっつり摩擦が有って
小球は静止摩擦で円筒内面と噛み合ってる。
但し、転がり摩擦は無視できるってことですね。

とすると力学的エネルギー保存は

(1/2)mv²+(1/2)Iω²+a(1-cosθ)mg=一定。

何を解くのか不明だけど
多分
v=(a-b)dθ/dt
ω=(a/b)(dθ/dt)
も使う。

tknakamuri · Answer

丸いかごのようなものは固定されているのだろうか？
内側の丸いのは円盤、球？

元の問題の条件がわからないと
良くわからんです。

No.3 です。