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分かる方よろしくお願いします。
図のように糸の先端に取り付けられた質量mの小球が水平に置かれたなめらかな坂の上で等速円運動している。回転中心Oには細い穴が開けられており、穴を通したいとの先端を張力Sで引いて回転半径を保つように支えている。初期状態において、回転の半径はr(0)で、小球の速さはv(0)であった。以下の問いに答えよ。
(1)糸の端をゆっくり引いて回転半径を徐々に小さくしてゆく。このとき回転半径の減少とともに張力Sも変化する。回転半径がrのときの小球の速さvを求めよ。
(2)そのときの回転運動の周期Tを求めよ。
(3)そのときの糸の張力Sを求めよ。
(4)初期状態(半径r(0))から半径rになるまでの運動エネ ルギーの変化ΔKを求めよ。増加を+、減少を−とする。

「分かる方よろしくお願いします。 図のよう」の質問画像
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A 回答 (5件)

#3 のお礼に書かれている



>私は小球に働く糸の張力は常に点oに向くので、糸の張力による点oの周りの力のモーメントは0、よって小球の角運動量は保存し
>mr(0)v(0)=mrvとなりv=r(0)v(0)/r

はい。それでよいと思います。

>(2)(3)はお返事にある式にvを代入したもの

はい。それでよいと思います。

>(4)は
>ΔK=mvの二乗/2ーmv(0)の二乗/2
>の式にvを代入したものになりました。

はい。それでよいと思います。

半径 r (< r0)の方が運動エネルギーが大きくなりますが、その差が「張力 S のした仕事」ということですね。
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糸を引くとき、角運動量=mr^2・ω=mvr は張力(中心力)では変化しないが


球は張力方向へ移動するので運動エネルギーは変化する。

引くのをやめて、円運動を維持するのに必要な張力は
S=mrω^2=mν^2/r

こんだけわかっていれば簡単に解ける。
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#2様 ご指摘ありがとうございます。


(1)r(0)からrまでする仕事はm∫[r(₀)→r]v²/r*dr=1/2m(v(₀))²ー1/2m(v)²から
mvr=mv(₀)r(₀)=C(一定)から、C²/m²*∫[r(₀)→r]1/r³*dr
    =-C²/2m²*1/r(₀)²+C²/2m²*1/r²
   v=v(₀)√((m-(r(₀)²-r²)/(r²))/m)
(4)運動エネ ルギーの変化ΔK=1/2m(v(₀))²ー1/2m(v)²
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。
自分でも解いてみたのですが答えが異なってしまいました。

私は小球に働く糸の張力は常に点oに向くので、糸の張力による点oの周りの力のモーメントは0、よって小球の角運動量は保存し
mr(0)v(0)=mrvとなりv=r(0)v(0)/r

(2)(3)はお返事にある式にvを代入したもの

(4)は
ΔK=mvの二乗/2ーmv(0)の二乗/2
の式にvを代入したものになりました。

二乗などの表記が分かりにくくてすみません。自分の回答が間違っていると思うのですが、どこがいけないか教えて貰えると嬉しいです。

お礼日時:2019/06/26 09:25

#1様


(1)は引っ張る力が一定ではないためその計算では間違い。
引張る力が常に動径方向であることから角運動量保存を使う方が楽そう。

(4)は変化を考えるときは常に
終状態の物理量 - 始状態の物理量
で考える。
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(1)r(0)からrまでする仕事はmv(0)²/r(0)*(r(0)-r)=1/2m(v(0))²ー1/2m(v)²から


   v=v(0)*√(r/r(0))
(2)周期T=2πr/v
(3)張力s=mv²/r
(4)運動エネ ルギーの変化ΔK=1/2m(v(0))²ー1/2m(v)
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