ベクトル場って何ですか

平面ベクトル場f（r）=[1,1]がどうして
点と斜め矢印の場になるのか分かりません

No.4 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2023/04/29 12:58

半球面 z = x^2 + y^2 の具体的なベクトル場であるgradで考えたほうがわかりやすいだろう。

　grad が傾きだからといって、grad をこの半球面に対する接線や法線を直接イメージしてはまずい。この場合は、
　　z = h(x,y) = x^2 + y^2
に対し
　　grad( h(x,y) ) = (2x,2y)
と考えなければならない。つまり、

　　ベクトルとしての grad

を考えるときは、半球面について考えるのではなく、あくまでも半球面を 2次元のx-y平面に投影し、半球面の等高線を描いた地図のイメージで考える。半球面の場合、等高線は原点を中心とした円になる。その円の法線、すなわち原点から放射状に伸びる線が grad になるのだ。線では向きがわからないので、線に沿った矢印でベクトル場 grad を表す。

　次に頭を切り替えて、本当に 3 次元の半球面を山のような形でイメージした場合、この山の坂の傾きが勾配になる。上でベクトルとして計算した grad と、坂道をイメージした場合の勾配の値は一致する。

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/04/25 11:20

普通のx,y座標の面で、x=1,y=1の点、つまり(1,1)の座標の点に、原点から線を引けば、斜め45度の線になるでしょ？

普通のx,y座標は平面ベクトル場の1例です。

x,yが直行してる必要は有りません。
この場合、平行四辺形の対角線が線になります。
書いてみれば解ると思う。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/25 08:54

>平面ベクトル場f（r）=[1,1]が<

>点と斜め矢印の場<

ということは、「平面ベクトル場」、や「場」ということを
理解(あっているかは別として)しているようですが、どのよ
うな理解をしていますか?

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/25 08:53

例えば地上の重力場は？

どこでも下向きだから

f(r) = (0, 0, -g)

位置を表す変数 r(3次元ベクトル) に対する
関数値がベクトルというだけ。