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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
間違えました。
x=±a, y=z=0 または y=±b, x=z=0 なので、
f=a² or b² なので、最大は a²
別解
-z²≦f(x,y,z)≦x²+y²・・・・・①
であることは自明。
x²/a²+y²/b²+z²/c²=1・・・・②
だから、最小は①の左辺から x=y=0 で、②から z=±c、つまり
最小は x=y=0, z=±c で f=-c²
最大は①の右辺から z=0 で②から
x²/a²+y²/b²=1・・・・③
となり
f=x²+y²=x²+b²(1-x²/a²)=(1-b²/a²)x²+b²
が最大となればよい。a>b>0 だから (1-b²/a²)>0 なので
それは x=±a のときとなり
f=a²
が最大。③から y=0、まとめると
最大は x=±a, y=z=0 で f=a²
No.2
- 回答日時:
ラグランジュの未定乗数法は使えないので
f(x,y)=x²+y²-c²(1-x²/a²-y²/b²)
=(1+c²/a²)x²+(1+c²/b²)y²-c²
の最大最小を求む。
fx=(1+c²/a²)2x, fy=(1+c²/b²)2y
fx=fy=0 → x=y=0
このとき
fxx=(1+c²/a²)2 > 0, fyy=(1+c²/b²)2
fxy=0
Δ=fxxfyy-fxy²=4(1+c²/a²)(1+c²/b²)>0
なので、
x=y=0(z=±c) で極小値 f(0,0)=-c²・・・・・①
極とはこれ以外にないが、
|x|≦a, |y|≦b
だから、最大最小はこの境界にある可能性があるから
f(±a,y)=a²+c²+(1+c²/b²)y²-c²=a²+(1+c²/b²)y²
となり、これは y=0で最小、y=±bで最大となるから
a²≦f(±a,y)≦a²+b²+c²・・・・・②
同様に
f(x,±b)=(1+c²/a²)x²+b²
だから
b²≦f(x,±b)≦a²+b²+c²・・・・③
ただ、この範囲は任意のx,yは取れないので、存在を確認
しなければならない。
したがって、①②③から①での x,y,z の存在は確定なので
最小値 -c² (x=y=0, z=±c)・・・・④
とわかる。
ただ、最大値は
a²+b²+c²
となりそうだが、x,y,zは任意に取れないので、この値を取る
x,y,zを確認しなければならない。
まず、x=±aのときは
z²=c²(1-x²/a²-y²/b²)=c²(-y²/b²)≧0
だから
y=0 しかない(当然、z=0)。
つぎに、y=±bのときは
z²=c²(1-x²/a²-y²/b²)=c²(-x²/b²)≧0
だから
x=0 しかない(当然、z=0)。
したがつて、これらの条件の時、最大値は
a²+b²+c² (x=±a, y=z=0 または y=±b, x=z=0)
が存在する。
④とで、まとめると
最小値 -c² (x=y=0, z=±c)
最大値 a²+b²+c² (x=±a, y=z=0 または y=±b, x=z=0)
No.1
- 回答日時:
コタエ教えてじゃなくて解法をお尋ねなので回答します。
ラグランジュの未定乗数法を使います。すなわち、制約条件が等式
g(x,y,z) = 0
で与えられているとき、
L(x,y,z) = f(x,y,z) + λg(x,y,z)
について
∂L/∂x = ∂L/∂y = ∂L/∂z = ∂L/∂λ = 0
という連立方程式を作る。で、a>b>c>0に注意して連立方程式を場合分けで解き、解である停留点(x,y,z)を全部見つける。最後に、解を吟味して最大値・最小値を特定する。
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