大学数学の問題です。 条件 (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1 のもとで、f(x,y

大学数学の問題です。

条件 (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1 のもとで、f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2 の最大値、最小値を求めよ。ただし、a>b>c>0とする。

分かる方、解法を教えてください。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/01 18:20

間違えました。

x=±a, y=z=0 または y=±b, x=z=0 なので、
f=a² or b² なので、最大は a²


別解

　-z²≦f(x,y,z)≦x²+y²・・・・・①
であることは自明。

　x²/a²+y²/b²+z²/c²=1・・・・②

だから、最小は①の左辺から x=y=0 で、②から z=±c、つまり
　最小は x=y=0, z=±c で f=-c²

最大は①の右辺から z=0 で②から
　x²/a²+y²/b²=1・・・・③
となり
　f=x²+y²=x²+b²(1-x²/a²)=(1-b²/a²)x²+b²
が最大となればよい。a>b>0 だから　(1-b²/a²)>0 なので
それは x=±a のときとなり
　f=a²
が最大。③から y=0、まとめると
　最大は　x=±a, y=z=0 で f=a²

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/01 13:03

ラグランジュの未定乗数法は使えないので

　f(x,y)=x²+y²-c²(1-x²/a²-y²/b²)
　　　　=(1+c²/a²)x²+(1+c²/b²)y²-c²
の最大最小を求む。

　fx=(1+c²/a²)2x, fy=(1+c²/b²)2y
fx=fy=0 → x=y=0
このとき
　fxx=(1+c²/a²)2 > 0, fyy=(1+c²/b²)2
　fxy=0
　Δ=fxxfyy-fxy²=4(1+c²/a²)(1+c²/b²)>0
なので、
　x=y=0(z=±c) で極小値　f(0,0)=-c²・・・・・①

極とはこれ以外にないが、
　|x|≦a, |y|≦b
だから、最大最小はこの境界にある可能性があるから
　f(±a,y)=a²+c²+(1+c²/b²)y²-c²=a²+(1+c²/b²)y²
となり、これは y=0で最小、y=±bで最大となるから
　a²≦f(±a,y)≦a²+b²+c²・・・・・②
同様に
　f(x,±b)=(1+c²/a²)x²+b²
だから
　b²≦f(x,±b)≦a²+b²+c²・・・・③

ただ、この範囲は任意のx,yは取れないので、存在を確認
しなければならない。

したがって、①②③から①での x,y,z の存在は確定なので
　最小値　-c²　(x=y=0, z=±c)・・・・④
とわかる。

ただ、最大値は
　a²+b²+c²
となりそうだが、x,y,zは任意に取れないので、この値を取る
x,y,zを確認しなければならない。
　
まず、x=±aのときは
　z²=c²(1-x²/a²-y²/b²)=c²(-y²/b²)≧0
だから
　y=0 しかない(当然、z=0)。

つぎに、y=±bのときは
　z²=c²(1-x²/a²-y²/b²)=c²(-x²/b²)≧0
だから
　x=0 しかない(当然、z=0)。

したがつて、これらの条件の時、最大値は
　a²+b²+c²　(x=±a, y=z=0 または y=±b, x=z=0)
が存在する。

④とで、まとめると
　最小値　-c²　(x=y=0, z=±c)
　最大値　a²+b²+c²　(x=±a, y=z=0 または y=±b, x=z=0)

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/01 12:14

コタエ教えてじゃなくて解法をお尋ねなので回答します。

　ラグランジュの未定乗数法を使います。すなわち、制約条件が等式
　　g(x,y,z) = 0
で与えられているとき、
　　L(x,y,z) = f(x,y,z) + λg(x,y,z)
について
　　∂L/∂x = ∂L/∂y = ∂L/∂z = ∂L/∂λ = 0
という連立方程式を作る。で、a>b>c>0に注意して連立方程式を場合分けで解き、解である停留点(x,y,z)を全部見つける。最後に、解を吟味して最大値・最小値を特定する。