解法を教えてください

Question

次の連立不等式の表す領域をDとする。
(x-1)^2+(y+1)^2≦1
(x-y-1)(x+√3y-1)≧０

(１)領域Dの面積を求めよ
(２)点(x,y)が領域Dを動くとき、x+√3yの最大値と最小値を求めよ。またそのときのx,yの値を求めよ。

答え
(１)5π/(12)-√3/4-1/2
(２)x=3/2,y=(√3-2)/2のとき、最大値3-√3  x=0,y=-1のとき、最小値-√3

spring135 · Accepted Answer

(x-1)^2+(y+1)^2≦1    (1)

(x-y-1)(x+√3y-1)≧０　　　(2)

(１)領域Dの面積を求めよ

この問題を解けるためには(1)、(2)が表す図形を完全にxy-平面上に描けて、Dがどこかを示せる必要があります。Dの面積を求めるというのは図が描ければ中学生の知識でできます。図が描けるというのは相当な実力です。図は以下のようになっていれば正解です。

(1)は中心C(1,-1)の円の中側（境界を含む）

(2)は2直線

x-y-1＝0　　　　　(2)

x+√3y-1＝0　　　　(3)

で挟まれた向かい合う2つの領域で、原点O(0,0)を含む側Aとこれに向かい合う領域Bです。A,Bは2直線の交点P(1,0)で向かい合います。
従ってDはAと(1)の円の共通領域A'と、Bと(1)の円の共通領域B'の2か所です。

円(1)と直線(2)の交点はPとQ(0,-1),円(1)と(3)の交点はPとR(1+√3/2、-1/2)は解りますか。

A'は4等分した円から頂点をP,Q,Cとする直角三角形を取り除いたものであることは解りますか。円の面積はπ。

よってA'の面積はπ/4-1/2

B'は円弧PRとCP,CRで囲まれるピザパイ型部分から⊿PRCを除去したものです。中心角PCR=60°は解りますか。よって⊿PCRか辺の長さ1の正三角形で面積は√3/4,従ってB'の面積はπ/6-√3/4

A'とB'の面積の合計はπ/4-1/2+π/6-√3/4＝5π/(12)-√3/4-1/2

(２)点(x,y)が領域Dを動くとき、x+√3yの最大値と最小値を求めよ。またそのときのx,yの値を求めよ。

k=x+√3y　　　(4)

とおくとkを定数とすると、これは直線の方程式で直線(3)に平行な直線であることがわかりますか。(3)はk=1の場合。

x+√3yの最大値と最小値を求めろということは直線(4)をkを変えながら（平行移動しながら）kが最大になる点と最小になる点を見つけろということです。

最大は(4)がA'の円弧に接する場合、最小はB'の点Qを通る場合というのが図から直ちに読み取れますか。

最大：

(4)と(1)の円(x-1)^2+(y+1)^2＝1を連立してxまたはyだけの2次式にして重解条件D=0が定石

2次式は

(k-1-√3y)^2+(y+1)^2=1

4y^2+2[1-√3(k-1)]y+(k-1)^2=0　　　(5)

D=[1-√3(k-1)]^2-4(k-1)^2=0

(k-1)^2+2√3(k-1)-1=0

k-1=-√3±-√(3+1)=-√3±2

k=1-√3±2

(3)よりも上にくるためにはk>1

よってk=3-√3が最大値。
 
この時(5)より

y=-[1-√3(k-1)]/4=(√3-2)/2

(4)よりx=k-√3y=3/2

最少：Qを通るとき

x=0,y=-1,k=x+√3y=-√3

以上より

x=3/2,y=(√3-2)/2のとき、最大値3-√3 x=0,y=-1のとき、最小値-√3

mmmommo · Answer

(1)
連立不等式の領域を表す図をかいてテキトーに求める

(2)
軌跡の基本問題。軌跡を求めて微分で最大最小求める。（2次関数の頂点とかでもいけるかもね）

(x-1)^2+(y+1)^2≦1 (1)