『無限回の計算』

前回、無限級数の計算で、計算回数に上限を設けないで行った場合、条件によってはある極限値に収束する、しかし、あくまで有限回の計算で近付いていくだけといった意味のことを言いましたが、無限回計算した＝足してしまったことにするというやり方も理論的にはあるでしょう。
例えば、初項1/2、公比１/２の等比級数の場合、極限値として１に収束するとなるでしょう。今までは、１に限りなく近づく、しかし、遂に１になってしまうことはないと考えていたのですが、これを無限回足してしまったことにするとした場合どうなるか？やはり１という値をとるのか？
色々と考えているうちに、おかしなことになるのではないか？と思えてきました。こういうことです。
計算回数を１→１０→１００→１０００…と増やしていくと、１に近付く。逆に遡っていくと、１/2
の何乗分か段々１から離れて、小さくなっていく。当然のことですよね。しかし、無限に足してしまったことにする、とした場合、その無限遠の彼方から遡っていくことを考えたとき、無限遠なのだから、いつまで経っても、…→１０００→１００→１０→１へと辿り着けないことになりませんか。
そして、だとすると、いつまで経っても１のままということにならないかと。
これを足し上げと足し下げと仮に呼ぶことにすると、足し上げの場合は、どんなに計算回数が多くとも、有限なのだから、足し下げていった場合、１０００，１００、１０へとつながっていることを確認できますが、無限遠の場合、つなげていくことができない。つまり、足し上げていく場合と同じルートというかコースに載っている、足し上げの延長上にあると確証できないのではないかという疑問が出てくるのです。
これをも、無限回足してしまったことにしたのだから、逆に足し下げてしまうこともできる。だから、足し上げていった場合の極限値１と無限回足してしまった場合とは一致するし、確かに同じルート上にあり、無限回の計算は有限回の延長上にあるとするべきかもしれませんが、そこまで行くと、これはもう、そういうふうに定めたのだと宣言するに等しいと思えるのです。
公比が０から１内にある場合の等比級数は有限の値に収束する、これは正しいからそうなるというより、そう定めたからだとならないでしょうか？
（まだまだ、疑問はありますし、勉強は続くようです）

No.4 回答者： funoe 回答日時： 2023/06/09 10:05

すごい冷たい言い方をすると、

＞無限回計算した＝足してしまったことにするというやり方も
＞理論的にはあるでしょう

つまり、そんなやり方は理論的にはないのではないか、ということ。

あなたが仮定した「理論的にあるかも？」に対し、
あなた自身が検討を進めた結果、
あなた自身が納得できない不自然な結論に到達したなら
それはあなたが仮定した設定が誤っているかも？と考えるのが健全です。

もちろん、さらに検討を進めて納得できる解釈に到達することもありえます。

蛇足ですが、すでに指摘あるとおり一般的な数学では、
「無限回の操作を完了させ足してしまったことにする」という概念でなく
ε－Ｎ論法で「有限の操作」で極限を定める方法を見つけています。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/08 06:04

無限回計算する(足してしまう)ことは理論的にありえません

任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|S(n)-1|<ε
となるとき
lim_{n→∞}S(n)=1
と定義するのです

S(n)
=Σ_{k=1～n}(1/2^k)
=1/2+1/4+…+1/2^n
=1-1/2^n

任意のε>0に対して
n_0>1/ε
となる自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して
2^n>2^n_0>n_0>1/ε
|S(n)-1|
=1/2^n
<1/2^n_0<1/n_0<ε
だから
極限の定義から
lim_{n→∞}S(n)=1

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/07 18:31

極限が「繰り返すと近づく」とか言ってると、

そういうモヤっとした曖昧な議論になるでしょうね。
そこを精密に考えるためには、極限とは何なのか、
イメージに依存しない、論理的な定義が必要です。
たとえば、こんなのとか↓
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyurok …
解析学は、そのあたりから始まるんです。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2023/06/07 17:56

無限回の計算と言うのは、例えば、以下のような場合だと思います。

Lim(x→∞)f(x)
結果は、0、∞(発散)、一定値に収束、振動(繰り返し)
等に分かれます。

ご参考まで。