分散

一行目からどう変換したのか理解できません。
分散の定義をどう変換したらこうなるのか教えてください

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/22 15:42

まずは、そもそも「分散：V[X]」とは

「平均値との偏差の2乗」の平均
ということは理解していますね？
「偏差の平均」だと「0」になってしまうので、すべてを「プラス」にして「2乗」してから平均しています。

ということで、分散の定義から
　V[Y] = (1/n)Σ{(yi - μy)^2}　　　　①
ということです。
これを「期待値 = 平均」の記号 E[X] を使えば
　V[Y] = E[(Y - μy)^2]　　　　　　②
ということになります。

ここで、変数が
　y = ax + b
の場合、y の平均 μy は、x の平均を μx として
　μy = a･μx + b
になることは分かりますね？
これで①式の変数を置き換えれば

　V[aX + b] = E[{(aX + b) - (a･μx + b)}^2]　　　③

この「μx」を、変数が x だけとして「μ」と書いたものが1行目だということは分かりますか？
要するに1行目は「分散の定義」そのものです。

2行目は、単に { } の中を整理しただけで
　(aX + b) - (a･μ + b)
= aX + b - aμ - b
= aX - aμ
= a(X - μ)

3行目はそれを分けて2乗したもの。

4行目は定数 a^2 を外に出した。

そうしたら E[(X - μ)^2] は V[X] だったというのが5行目。


1行目の「変数変換」に幻惑されないように。