一辺の長さが1の正n角形の外接円の半径が、一辺の長さが1の正n+1角形の内接円の半径より小さくなるの

一辺の長さが1の正n角形の外接円の半径が、一辺の長さが1の正n+1角形の内接円の半径より小さくなるのは、nがどういうときですか？

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/28 06:00

1辺の長さが1の正n角形の外接円の半径を(Ro)とすると

(Ro)=1/{2sin(π/n)}
1辺の長さが1の正n+1角形の内接円の半径を(Ri)とすると
(Ri)=1/(2tan{π/(n+1)})

(Ro)<(Ri)となるのはnが

sin(π/n)>tan{π/(n+1)}

となるとき

n≧5のとき
sin(π/n)≧(π/n)-(π/n)^3/6>{π/(n+1)}+2{π/(n+1)}^3/5≧tan{π/(n+1)}
sin(π/n)>tan{π/(n+1)}
となるから

∴
n≧5

のとき
1辺の長さが1の正n角形の外接円の半径(Ro)は
1辺の長さが1の正n+1角形の内接円の半径(Ri)より小さくなる

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/06/27 01:12

成る程、「内接円」を見落としてました。

申し訳ない。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/26 23:32

[1] 素直に

　　一辺の長さが1の正n角形の外接円の半径 を r
　　一辺の長さが1の正n+1角形の内接円の半径 を R
とすると、r ＜ R とは
　　tan(π/(n + 1)) ＜ sin(π/n)
ということ。
計算してみると、これが成り立つ必要条件はn＞4とわかるので
　　∀n( n＞4 ⇒ tan(π/(n + 1)) ＜ sin(π/n) )
を証明したい、ということです。

[2] 三角関数がしんどそうなので、両辺を多項式で「近似」する。まず
　　s(φ) = φ(1 - φ^2)
とすると、
　　0＜φ＜π/4 ⇒ s(φ) ＜ sin(φ)
（∵
　　u(φ) = sinφ - s(φ)
　　u'(φ) = du/dφ = 3φ^2 ＋cos(φ) - 1
　　u''(φ) = du'/dφ = 6φ - sin(φ)
さて
　　0＜φ＜π/4 ⇒ u''(φ) ＞ 0
そして、u'(0) = 0 なので
　　0＜φ＜π/4 ⇒ u'(φ) ＞ 0
そして、u(0) = 0 なので
　　0＜φ＜π/4 ⇒ u(φ) ＞ 0 ■）
　　
また、
　　t(θ) = θ(1 + 3θ^2)
とすると、
　　0＜θ＜π/4 ⇒ t(θ)＞ tan(θ)
（∵
　　v(θ) = t(θ) - tan(θ)
　　v'(θ) = dv/dθ= 1 + 9(θ^2) - 1/(cos(θ))^2
　　v''(θ) = dv'/dθ = 18θ - 2tanθ/(cos(θ))^2
　　v'''(θ) = dv''/dθ = 18 - (2/(cos(θ)^4) + 4(tan(θ)/cos(θ))^2))
1/cos(θ) とtan(θ)はどっちも0＜θ＜π/4で単調増加で、
　　0＜θ＜π/4 ⇒ 1/(cos(θ))^4＜4
　　0＜θ＜π/4 ⇒ (tan(θ)/cos(θ))^2＜2
なので
　　0＜θ＜π/4 ⇒ v'''(θ) ＞ 0
そして v''(0) = 0 なので、
　　0＜θ＜π/4 ⇒ v''(θ) > 0
そして v'(0) = 0 なので
　　0＜θ＜π/4 ⇒ v'(θ) > 0
そして v(0) = 0 なので
　　0＜θ＜π/4 ⇒ v(θ) > 0 ■）

[3] これを使って、
　　∃N(∀n( n＞N ⇒ t(π/(n + 1)) ＜ s(π/n) ))
を証明する。ただしN＞4。
　　f(n) = ( s(π/n) - t(π/(n + 1)) )/(π((n(n + 1))^3))
とおくと、分母は正なので、f(n)＞0を言う。
　　f(n) = (n(n + 1))^2 - (π^2)((n + 1)^3 + 3n^3)
π^2とかめんどくさいっぽいので、10で置き換えて
　　g(n) = (n(n+1))^2 - 10((n+1)^3 + 3 n^3)
とおくと、
　　f(n) ＞ g(n)
　　g(n) = n^4 - 38 n^3 - 29 n^2 - 30 n - 10
　　g'(n) = dg/dn = 4 n^3 - 114 n^2 - 58 n - 30
　　g''(n) = dg'/dn = 12 n^2 - 228 n - 58
さて、g''(n) = 0 の実数解は (1/2)(19±√(1141/3)) ≒ 19.3 なので、n≧20 ではg'(n)は単調増加であり、てことは、この範囲のg'(n)=0の実数解は高々1個である。実際、
　　g'(30) ＞ 0
だから、n≧30の範囲ではg(n)は単調増加であり、この範囲のg(n)=0の実数解は高々1個である。実際、
　　g(40) ＞ 0
だから、n≧40の範囲ではg(n)＞0 である。
つまり、
　　∀n(n≧40 ⇒ f(n)＞0)
というわけで、
　　∀n(n≧40 ⇒ t(π/(n + 1)) ＜ s(π/n))

[4] n≧40のとき0 ＜ π/n ＜ 1なので
　　∀n(n≧40 ⇒ tan(π/(n + 1)) ＜ t(π/(n + 1)) ＜ s(π/n) ＜ sin(π/n) )
である。

[5] さて、excelに計算させてみると
　　n=2〜4 では　tan(π/(n + 1)) ＞ sin(π/n)
　　n=5〜40では、tan(π/(n + 1)) ＜ sin(π/n)

[6] というわけで、コタエ「n＞4のとき」。
　わー、なんて強引なんだろ。いや、[2]の近似をもっとスレスレにすれば、n=40まで数値計算なんてことにはならんだろうけど。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/26 19:56

間違えました

{π/(n+1)}+{π/(n+1)}^3/3≧tan{π/(n+1)}
が
成り立つというのは取り消します

n≧5のとき

sin(π/n)>tan{π/(n+1)}

が
成り立つらしいのだけれども現在考慮中です

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/26 09:56

1辺の長さが1の正n角形の外接円の半径を(Ro)とすると

1=2(Ro)sin(π/n)
(Ro)=1/{2sin(π/n)}
1辺の長さが1の正n+1角形の内接円の半径を(Ri)とすると
1=2(Ri)tan{π/(n+1)}
(Ri)=1/(2tan{π/(n+1)})

1/{2sin(π/n)}=(Ro)<(Ri)=1/(2tan{π/(n+1)})
1/{2sin(π/n)}<1/(2tan{π/(n+1)})

tan{π/(n+1)}<sin(π/n)

(Ro)<(Ri)となるのはnが

sin(π/n)>tan{π/(n+1)}

となるとき

n=3のとき
sin(π/n)=sin(π/3)=√3/2<1=tan(π/4)=tan{π/(n+1)}
(Ro)=√3>1/2=(Ri)だから
(Ro)<(Ri)とならない

n=4のとき
sin(π/n)=sin(π/4)=√2/2≒0.7<0.72≒tan(π/5)=tan{π/(n+1)}
(Ro)=√2/2≒0.7>0.69≒(Ri)だから
(Ro)<(Ri)とならない

n≧5のとき
sin(π/n)≧(π/n)-(π/n)^3/6>{π/(n+1)}+{π/(n+1)}^3/3≧tan{π/(n+1)}
sin(π/n)>tan{π/(n+1)}
となるから

∴
n≧5

のとき
1辺の長さが1の正n角形の外接円の半径(Ro)は
1辺の長さが1の正n+1角形の内接円の半径(Ri)より小さくなる

この回答へのお礼

{π/(n+1)}+{π/(n+1)}^3/3≧tan{π/(n+1)}
は、なぜ成り立つのですか？

お礼日時：2023/06/26 17:25

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/06/26 09:13

nは3以上の整数しかありえないけど、nの値に関係なく常にそうなります。

正n角形の長さ１の辺は、外接する円をn等分したい扇形の弦だが、
弦に対する扇形の中心角は360°/n なので　n が増えると中心角は減ってゆくます。
弦の長さが変わらず中心角が減るには、
扇形の半径を増すしかない。
したがって、nが増えると外接円の半径は必ず増えます。

この回答へのお礼

>したがって、nが増えると外接円の半径は必ず増えます。

だからなんだというのでしょうか？

お礼日時：2023/06/26 17:27