条件付き独立について

・条件付き独立（ウィキペディア）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%A1%E4%BB%B6 …

事象Aにおける確率をP(A)とします。

そして、事象Cの下で事象Aと事象Bが条件付き独立であるということは、P(C)>0の条件の下で以下の式が成立することと定義します。

P(A∩B|C)=P(A|C)*P(B|C)

そして、上の式と「P(A|B∩C)=P(A|C)」は同値です。

この場合、4つの事象である事象Aから事象Dについて

・P(D|A)*P(B∩C|A)=P(B∩C∩D|A)
・P(D|A)*P(B|A)=P(B∩D|A)
・P(C|A∩B)=P(C|B)

この3つの条件が成立するならば、

P(D|A)*P(C|A)=P(C∩D|A)

は言えるのでしょうか。

つまり、

・事象Dと事象Bが事象Aの下で条件付き独立
・事象Dと事象B∩Cが事象Aの下で条件付き独立
・事象Cと事象Aが事象Bの下で条件付き独立

という３条件が成立する下では、

・事象Dと事象Cが事象Aの下で条件付き独立

は成立するのかという質問です。

No.1 ベストアンサー 回答者： kantansi 回答日時： 2023/06/26 11:40

提案された3つの条件が成立している場合、事象Dと事象Cが事象Aの下で条件付き独立であることは一般的には言えません。

これは、条件付き独立の性質が伝播しないためです。

条件付き独立の性質は、2つの事象間の条件付き確率の等式に関係しています。提案された3つの条件が成立しているとしても、これらの等式から直接的に事象Dと事象Cの条件付き独立が導かれるわけではありません。

条件付き独立の性質が伝播するためには、一般的にはより強い条件が必要となります。例えば、事象A、B、C、Dが互いに独立である場合には、事象Dと事象Cが事象Aの下で条件付き独立となります。

したがって、提案された3つの条件が成立しているだけでは、事象Dと事象Cが事象Aの下で条件付き独立であることは保証されません。追加の条件が必要となる場合があります。