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実験で有効数字などを考える時に対数をとったときは有効数字はどうなるのですか?例えば(5桁)×(5桁)×ln(4桁÷3桁)の場合、有効数字はやっぱり1番小さい3桁になるのですか?

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A 回答 (5件)

 先日読んだ分析化学の教科書「クリスチャン 分析化学 I 基礎」(丸善,第4版,平成元年刊)に記載がありましたので,調べてみました。

出ているのは「第3章 分析データの処理」部分です。

【掛け算と割り算】
 掛け算や割り算の答えの不確かさは演算数の中で最も不確かなもの(最も有効数字の桁数の少ないもの)に支配されます。

 つまり,計算結果の有効数字は「演算数の中で最も有効数字の桁数の少ないものと同じ」になります。

 実際の計算では,一桁余分に計算しておいて,最終の答えを四捨五入します。

【足し算と引き算】
 有効数字は小数点の位置で決ります。つまり,計算結果の有効数字は「演算数の中で最も小数点以下の桁数の少ないものと同じ」になります。

【対数】
 対数から真数への変換またはその逆の場合には,「計算する数と対数の真数は同じ桁数の有効数字」をもちます。仮数部分のゼロはすべて有効になります。

 チョット分かり難いかと思いますので,log[2.0X10^(-3)] を例にとって具体的に説明しましょう。この場合,問題になるのは 2.0 の桁数(2桁)で,log(2.0) の計算結果の有効数字は2桁です。つまり,log(2.0) = 0.30。結果として,log[2.0X10^(-3)] = -3+0.30 = -2.70 となり,有効数字3桁になります。

 仮数から真数に変換する場合も同じで,「計算結果の有効数字は仮数の有効数字と同じ桁数」になります。例えば,0.072(有効数字3桁)の真数は3桁の 1.18 です。

 お書きの (5桁)×(5桁)×ln(4桁÷3桁) であれば,ln の中の (4桁÷3桁) の結果は有効数字3桁ですが,ln 計算の結果は有効数字4桁になる可能性もあります。ですので,全体の有効数字は3桁又は4桁でしょう(どちらになるかは,実際の数値によって変わります)。
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この回答へのお礼

そういう事だったんですか。(゜o゜)ありがとうございました。(^o^)

お礼日時:2002/10/18 23:27

既に十分回答が出ていますが,どんな系にでも応用できる数値解析的な方法を一つ。



例えば,1.23 という有効桁数 3 桁の数字は,1.225 以上,1.235 未満の意味です。これは,1.23 + a * 10^-3 (但し -5 =< a < 5)と置きかえることができます。演算を行った後の有効桁数を調べたい場合,このようにそれぞれの値に変数を加え,この変数を実際に動かしてみて,解がどう変わるかを見れば,解の有効桁数は一目瞭然です。

さて,ご質問の系「(5桁)×(5桁)×ln(4桁÷3桁)」の場合,それぞれの数値に,先ほどの様に変数を付け加えます。

(5桁 + a)×(5桁 + b)×ln{(4桁 + c)÷(3桁 + d)}

a,b,c,d は,それぞれ取りうる値の範囲が決まっていますが,この範囲内で,解との差分がもっとも大きくなる a,b,c,d の組み合わせを探します。これは解析的に解いてもいいですが,エクセルのソルバーなどを用いて数値解を探した方が遥かに簡単でしょう。簡単な系なら,手で値を代入しても問題ないありません。

解は,この差分の桁数の一つ上の桁で四捨五入すればよいことになります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。助かりました。

お礼日時:2002/10/20 11:26

対数の有功桁は.微分方程式を解かないと答えられない(原則小数になります。

)ので.面倒です。

測量関係の「重みつき」の計算あたりを読んでみてください。
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この回答へのお礼

わかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2002/10/18 23:29

単純に答えるのはちょっと早計と思います。


例えば、小数点以下や整数のみの場合と違い、対数が存在しているからです。
例えば、4桁÷3桁が丁度整数になったり、計算した対数の値が整数になった場合など様々です。
5桁×1桁の場合、有効桁数が1桁になるとは思えません。
例えば、
12345×5=61725
掛け算の場合は5桁×5桁も5桁×4桁もどちらも有効桁数は5桁だと思います。
結論としてこの場合、5桁が有効桁数だと思います。
ln(4桁÷3桁)を5桁以上で計算すればより正確だと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2002/10/20 11:27

もっとも小さいものに合わせます。

例の場合では3桁になります。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/10/18 23:28

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