条件付確率に関して、答えが合わないのは何故かわからない

http://my.reset.jp/~gok/math/pdff/probability/pr …
こちらのpdfの演習9.2を解いており、私は以下のように考えました。

・その学生(選ばれた1名)が1組に属する事象をA
=>受験者全体で160人で、1組は40人であるため、事象Aの確率P(A)=40/160=1/4

・その学生(選ばれた1名)の得点が80点以上である事象をB
=> 受験者全体で得点が80点以上であるのは54人であるため、事象Bの確率P(B)=54/160

・よってP(AかつB)=27/320

・事象Aが起こった時、事象Bが起こる条件付確率は
PA(B)=P(AかつB)/P(A)=27/80

・事象Bが起こった時、事象Aが起こる条件付確率は
PB(A)=P(AかつB)/P(B)=1/4

しかし、実際の答えは「3/8, 5/18」と書かれていました。
直前で「PA(B)=P(AかつB)/P(A)」という
条件付き確率に関する式の紹介があったため、
これを用いるのだと思いますが、現状の解き方でどこが間違っているか分かりません。

現状の解き方ではなぜ解けないのか、どうすれば解けるのかを教えていただきたいです。

ご教授よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/06/16 22:25

P(AかつB)=27/320 が間違っています。

P(AかつB)=P(A)P(B) が成立するのは、事象Aと事象Bが独立である場合です。
この問題では、事象Aと事象Bは関係がありますので独立ではありません。

1組に属しかつ80点以上の生徒は15人なので、P(AかつB)=15/160

これより、
PA(B)=P(AかつB)/P(A)=(15/160) / (40/160) =15/40=3/8
PB(A)=P(AかつB)/P(B)=(15/160) / (54/160) =15/54=5/18

No.2 回答者： springside 回答日時： 2020/06/16 22:43

No.1の回答の通りなのですが、もし、P(A∩B)=P(A)P(B)と機械的に（公式的に）覚えているとすれば、それは忘れ去って下さい。

そもそも、P(A∩B)を求める際には、「事象Aと事象Bが独立か否か」ということは一切考えるべきではありません。
もっと言うと、問題文を読んで「AとBは独立に違いない。だから、P(A)とP(B)を求めて掛ければいい」とやってはダメということです。
ではどうするかと言うと、P(A∩B)を求める際には、「A∩Bという事象を考えて、その確率がどうなるか」を考えると言うことです。
本文で言えば、「1組に属していて、80点以上というのは、どういうことか」を考え、その人数が15人、全体数が160なので、確率は15/160となります。

で、「独立」の件ですが、独立か否かをどうやって判断するのか、というと、問題文を読んでその事象を（日本語として）分析して判断するのではなく、
P(A∩B)とP(A)とP(B)の3つを別々に算出して、もし、P(A∩B)=P(A)P(B)となったら、結果的に「AとBは独立だったんだ」ということが判るという事になります。
繰り返しますが、「独立」の定義がP(A∩B)=P(A)P(B)ということであって、「問題文を読んで、その2つの事象が独立（のような気がする）」という
ことではありません。