確率を計算してほしいです。景品が38分の1の確率で当たるゲームがあります。

それを19回試して38分の1なのにが5回当たりました。

この事象は何分の1で起こることですか？

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/13 18:05

P = nCx (p^x) ((1-p)^(n-x))

は、たとえば logを常用対数として
　　P = 10^(log(P))
　　log(P)＝ log(nCx) + x log(p) + (n-x) log(1-p)
　　log(nCx) = log(n!) - log((n-x)!) - log(x!)
　　log(k!) = log(2) + log(3) + … + log(k-1) + log(k)
を表計算ソフトとかで計算すれば、そう簡単にはオーバーフローしないですよ。p=1/38, n=1900, x=500でも、ぜんぜんへいちゃらです。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/06/11 11:19

> choose(19,5)*(1/38)^5*(37/38)^14

[1] 0.0001010278
約0.01％ですね。１万分の１です。

この計算では、(1/38)^5 が10の-8乗オーダーなので、
二項分布で計算するには、精度としてはギリギリでしょうか。

コンビネーション計算が桁あふれ、
スモールｐの何乗の計算が桁落ち、
そういうケースが多々あります。そんなときは、ポアソン分布で近似するということが行われます。

ポアソンでも階乗計算が桁あふれすることがありますので、そうなるとベータ関数を使うしかないです。
横軸が０回～19回のような当選回数に対して縦軸Ｐのグラフができるんですが、通常は離散的な確率質量であるところを、連続関数で近似することになります。

それすら、たしか試行数170くらいで破綻するはずです（内部で使っているガンマ関数が破綻）。そんなとき（試行数が多い時）は、正規分布近似で計算します。すると今度は、すそ野の確率が合いません。
そのため、品質管理の世界では、ロジット変換や逆正弦変換を行った後に正規分布近似し、すそ野の確率を推定します。
これ、QC検定に出題されるくらい工業では常識なのです。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/06/11 09:27

1試行あたりの確率をスモールpで表すと、

今、19回中5回当選したという観測事実、これを「事象」といいますが、それが生起する確率ラージPは、

Pが二項分布に従う場合は、#1さんが用いられた式になります。

P＝nCx・p^x・(1-p)^(n-x)

No.1 回答者： goorev 回答日時： 2023/06/11 08:22

19C5(1/38)^5(37/38)^14

です