数列、等比数列、等差×等比の和の問題です。 写真(部の計算がわかりません。 式変形をどのように行って

数列、等比数列、等差×等比の和の問題です。
写真(部の計算がわかりません。
式変形をどのように行っているか教えてください。

質問者からの補足コメント

• それぞれの「1行目から2行目に」するとき、どのように計算しているか教えていただきたいです…

    補足日時：2023/06/28 00:26

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/28 17:14

ふつうに展開して、計算して、整理し直せばよいだけです。

何も特別なことはしてません。

(1)
S = -1 - 2･2[2^(n - 1) - 1]/(2 - 1) + (2n - 1)･2^n
　= -1 - 4[2^(n - 1) - 1] + n･2^(n + 1) - 2^n
　＝ -1 - 2^(n + 1) + 4 + n･2^(n + 1) - 2^n
　＝ (n - 1)･2^(n + 1) - 2^n + 3
　= (2n - 2)･2^n - 2^n + 3　　　←2^n にそろえた
　= (2n - 3)･2^n + 3

(2)
　1 + 3[x + x^2 + ･･･ + x^(n - 1)] - (3n - 2)x^n

第2項の [ ] 内は、「初項 x, 公比 x, 項数 n - 1」の等比数列の和なので
　x[1 - x^(n - 1)]/(1 - x)
　= (x - x^n)/(1 - x)

よって
与式 = 1 + 3(x - x^n)/(1 - x) - (3n - 2)x^n
全体を (1 - x) で通分して
　= {(1 - x) + 3(x - x^n) - (1 - x)(3n - 2)x^n}/(1 - x)
　= {1 - x + 3x - 3x^n - (3n - 2)x^n + (3n - 2)x^(n + 1)}/(1 - x)
　= {1 + 2x - (3n + 1)x^n + (3n - 2)x^(n + 1)}/(1 - x)x^n - 3x^n

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/27 23:55

いわゆる「等比数列の和の公式」を使ってるだけじゃね?