代数学の環の多項式環についてです 体 kについて、k係数の多項式環 k[X] は体とならないことを示

代数学の環の多項式環についてです
体 kについて、k係数の多項式環 k[X] は体とならないことを示してください。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/10 20:13

No.5 で、ようやく No.1 への答えを探す準備ができました。

あの X に逆元があるとしたら、どんなものでしょう？
形式冪級数環の演算定義に従って X・R = (1,0,0,...) となる R を探すと、
c_0 = a_0・b_0 のところで既に 1 = 0・b_0 となって破綻します。
X の逆元は形式冪級数環の中に存在しないので、まして
その部分環である多項式環の中には存在しません。

X ≠ (0,0,0,...) なので、よって多項式環は体ではない。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/10 20:03

で、具体的にどうするかというと...

k の元の無限列 (c_0,c_1,c_2,...), c_i∈k 全体の集合に
(a_0,a_1,a_2,...) + (b_0,b_1,b_2,...) = (c_0,c_1,c_2,...)
　⇔ c_i = a_i + b_i,
(a_0,a_1,a_2,...) ・ (b_0,b_1,b_2,...) = (c_0,c_1,c_2,...)
　⇔ c_i = Σ[j=0..i] a_j・b_(i-j).
で加法と乗法を定義すると、
零元 (0,0,0,...) と単位元 (1,0,0,...) を持つ可換環ができます。
この環は、冪級数を収束性を気にせず扱ったのと同じ挙動を示し、
「形式冪級数環」と呼ばれます。

k 上の形式冪級数環の元で、 0 ではない項が有限個のもの
だけを集めると、形式冪級数環の部分環ができます。
この部分環を k 上の「多項式環」と定義します。
こうして定義した多項式環は、
部分環として k と同型な (c,0,0,...), ｃ∈k 全体の集合を持ち、
X = (0,1,0,0,...) と置くと
k∪{X} が生成する形式冪級数環の部分環に一致します。

これが X の正体です。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/10 14:59

多項式環が何者かというより、その不定元とは何者か？ということですね。

環にせよ体にせよ添加拡大というのは微妙な代物で、
L が k の拡大環だってのは k が L の部分環であることの言い換え...
最初に環 L の存在ありきなんです。
k[X] のような添加拡大も同じ。 k に X を添加して k[X] を作ったというよりも、
まず環 L があって、既知の環 k がその部分環になってて、
L の元で k の元ではない X を 1 個とると k∪{X} と加減乗算で L が生成できる
場合に L = k[X] と書く... てな具合に理解すべきものなんです。

だから、X より先に多項式環 k[X] のほうを定義して、その中から元 X を探す
ほうが順当です。

No.3 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2023/07/09 22:12

(X)というイデアルが存在する。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/09 22:03

k係数の「多項式」P(X)は、もし係数が全部0であれば零元Oと等しく、それ以外ならどれでも単位元Iと等しい。

OとOの足し算はO、OとIの足し算はI、OとIの掛け算はOで、IとIの掛け算はI。という代数なら体にならんかな。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/09 21:00

X の逆元はなんだろう.

この回答へのお礼

逆元が存在しないのですよね、、
しかし、どのように示したらいいのか思いつかず‥

お礼日時：2023/07/09 21:33