質問文をよくお読みいただいた上での回答お待ちしています

以前の質問↓
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13485667.html

すべての実数を整列させる方法を考えました。教科書が書き換わりますか？

まず

1→0.1
2→0.2
・
・
・
9→0.9
10→0.01
11→0.11
12→0.21
・
・
・
99→0.99
100→0.001
101→0.101
102→0.201
・
・
・
9999→0.9999
10000→0.00001
10001→0.10001
10002→0.20001
・
・
・
…835218→0.812538…
…835219→0.912538…
…835220→0.022538…
・
・
・

というように、すべての自然数と、0と1の間のすべての実数を、1対1に対応させる。右側が「0と1の間のすべての実数」であることに異論はあるだろうか。この列に存在しない(0と1の間の)実数は存在するのか。この列は、小数第一位の数字が1,2…9,0,1…9,0,1…となっているので、だいたいその値で推移しながら、実数が、0と1の間を無限に埋めていく形になっている。

で、すべての実数を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
・
・
・

(0),-0.1,-0.2…-0.9,-0.01,-0.11…
-1,-1.1,-1.2…-1.9,-1.01,-1.11…
-2,-2.1,-2.2…-2.9,-2.01,-2.11…
・
・
・

となる。この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。無限に並べたのに「ここまで」などということがあるだろうか。

で、すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させると、

1→0
2→0.1
3→-0.1
4→1
5→-1
6→2
7→-2
8→1.1
9→-1.1
10→0.2
11→-0.2
12→0.3
13→-0.3
14→1.2
15→-1.2
16→2.1
17→-2.1
18→3
19→-3
・
・
・

のようになるが、それとも自然数は途中で尽きてしまうだろうか。

有理数と同じわけに↓はいかないのか。

1/1,2/1,3/1…
1/2,2/2,3/2…
1/3,2/3,3/3…
・
・
・

1→1/1
2→1/2
3→2/1
4→3/1
5→2/2
6→1/3
・
・
・

への回答が、始めの「すべての自然数と、0と1の間のすべての実数を、1対1に対応させる」段階で、右側に無限小数が、現れると言う人と現れないと言う人の二派に分かれましたが、現れる派の方だけに回答をお願いします。現れない派の方は回答をお控えください。

右側に無限小数が現れるということは、すべての実数を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
・
・
・

(0),-0.1,-0.2…-0.9,-0.01,-0.11…
-1,-1.1,-1.2…-1.9,-1.01,-1.11…
-2,-2.1,-2.2…-2.9,-2.01,-2.11…
・
・
・

となるというのもOKですよね。とするとすべての自然数とすべての実数を1対1に対応させると、

1→0
2→0.1
3→-0.1
4→1
5→-1
6→2
7→-2
8→1.1
9→-1.1
10→0.2
11→-0.2
12→0.3
13→-0.3
14→1.2
15→-1.2
16→2.1
17→-2.1
18→3
19→-3
・
・
・

となるのもOKですよね。この段階では無限桁の自然数は現れないので。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。

    補足日時：2023/07/14 11:38

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/14 10:43

N=(すべての自然数の集合)

R=(すべての実数の集合)
J=(0,1)={r∈R|0<r<1}=(0と1の間のすべての実数の集合)
NからJへの全射写像
f:N→J
が存在すると仮定すると
任意のβ∈Jに対してβ=f(n)となるような自然数nがある…(仮)

自然数nに対して
f(n)の小数第n位をf(n)_nとすると
f(n)_n≦4のとき　b(n)=8
f(n)_n≧5のとき　b(n)=1
と
数列{b(n)}_{n∈N}を定義して

β=Σ_{n=1～∞}b(n)*10^(-n)

とすると
0<β<1
だから
β∈J
であるが
どの自然数nに対しても
f(n)_n≦4のとき　b(n)=8
f(n)_n≧5のとき　b(n)=1
だから
βの小数第n位と
f(n)の小数第n位とは異なる
どのn∈Nに対しても
βはf(n)と等しくない
β≠f(n)
となって(仮)に矛盾するから
∴
NからJへの全射写像は存在しない

(すべての自然数の集合)から(0と1の間のすべての実数の集合)への全射写像は存在しない
から
(すべての自然数の集合)から(すべての実数の集合)への全射写像は存在しない

No.8 回答者： masa2211 回答日時： 2023/07/14 05:41

従来からある、「有理数を並べる方法」に比べ、まるでダメな方法になっています。

ある値Xが何番目にあたるか、という逆関数を考えます。
有限桁で与えられるXなら、あなたの方法でも何番目にあたるか、に対し、有限番号の答が得られます。
でも、1/3とか355/1130といった循環小数（＝無限桁）は、無限となってしまいます。
で、従来方法なら、有理数全部について、具体的な値がわかれば、何番目なのか計算可能。(めんどいけど、原理的には可能。）
無理数の場合は、あなたの方法でも従来方法でも、何番目かを計算すると無限となってしまう。ここは同じ。

つまり、従来方法のほうが、並べ方として優秀なのは明らか。

あと、
「整列」という用語に違和感。（あくまで違和感。本質には影響ない。）
順位付け、投射、投影、対応.....なら特に違和感ないけど、
「整列」(sorting)は、情報工学用語において、数値の大きい順（小さい順）に並べかえることを意味します。
あなたの並び順は、情報工学における「整列後の並び順」ではないです。数学と情報工学で、用語の意味が違ってもソレ自体は別に問題ないけど、別用語の選択が可能なにどうして「整列」という言葉なのか？
紛らわしいです。なぜ、こんな紛らわしい用語を使うのか、説明求む。

No.7 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/07/13 21:51

>>右側に無限小数が、現れる派の方だけに回答をお願いします

無限小数が現われても問題なし。

右側が小数点以下n桁になったとする。
桁は1,2,3・・・と順番に数えられるので、nは1～加算無限。

右側の任意の小数の小数点をn桁右にずらした数を分数の分子に持ってくる。

1の後に0をn個並べた数を分数の分母に持ってくる。

こうやって出来た数は、元の右側の小数と同じになる。

∴右側に出てくる小数は自然数/自然数で表す事が出来る。

これって、有理数だよ。

つまり、右側の小数は全部0～1の間の有理数だって事。
実数じゃ無いよ。

もう、精神異常者は、いい加減に施設にでも入って隔離生活を送りなよ。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/13 16:09

…835218→0.812538…

の
…835218
は
無限桁の偽自然数であって自然数ではない

…835219→0.912538…
の
…835219
は
無限桁の偽自然数であって自然数ではない

…835220→0.022538…
の
…835220
は
無限桁の偽自然数であって自然数ではない

無限桁の自然数は現れないという虚偽はいけません

No.5 回答者： アンドロメダシティ 回答日時： 2023/07/13 14:57

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/16889 …
の日高さんに相談してください。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2023/07/13 14:31

<質問文をよくお読みいただけると幸いです。

「右側に無限小数が、現れない派の方は回答をお控えください」と書いてある通りです。>

そうはいかない。これがあなたと僕の個人的やり取りなら
あなたの考えはただ無視すればいい、
しかしここはたくさんのご仁が見ている場です。
だから数学的に誤った考えはダメ　と批判されるべきです。
でないと数学的に誤った考えを受け入れてしまう方が出かねない。

自然数全体の各要素に対して有限小数＝有理数を対応させた
集合はいかにその有限小数の桁数が多くとも単なる有理数の集合です。
したがってそこに無理数は存在しない、これが数学の考え方です。

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/07/13 14:05

もう止めたら？

では単刀直入に・・・・。
a=0.n₁n₂n₃n₄n₅n₆・・・・・と言う数を下の規則で作る。

n₁は、表の右側の1行目の小数点1桁目が空白なら1、空白で無いならその数と異なる数とする(0～9の何れかになる）

n₂は、表の右側の2行目の小数点2桁目が空白なら1、空白で無いならその数と異なる数とする(0～9の何れかになる）

以下同様のやり方でn₃、n₄、n₅、n₆、・・・・・を造る。

aは0と1の間の数になる。

では、aは表のどこに現れる？？？？？
少なくとも、1箇所の桁は表に並べてあるものと違っている。

ならば、一体どこにあるの？漏れてるんだけど・・・・。

こんなの、大昔の牧歌的集合論・青少年集合論の入り口。
高校生が最初にみて「ええ～？」と感動するから、牧歌的集合論・青少年集合論の入り口になってる。

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/07/13 13:16

すでに数学で自然数と実数に全単射が存在しない事が証明されてるのに今更何を。

角の3等分家と同じ。

>右側が「0と1の間のすべての実数」であることに異論はあるだろうか。
有るに当たり前、

右側の数字列を2進法で書く。
数字列の長さは加算無限個(ℵ0)。
各桁に0or1が現われて、長さが(ℵ0)。
これによって造られる数の個数は(2^ℵ0)個。[2のℵ0乗個]

これは自然数(ℵ0)のベキ集合になってる。

ベキ集合の要素の個数は元の集合より真に多い。
これは、100年以上も前に証明されてる。

つまり、一覧表(ℵ0)から漏れてる実数は自然数×∞個もあるよ、と言う事。

No.1 回答者： Georgia.Rain. 回答日時： 2023/07/13 12:44

教科書か書き換わる程の発見だと思われるのならこんな素人ばかりの匿名サイトになぞ投稿してないで、それなりの機関に投稿してみてな？