以下の問題が分かりません。 8ビット浮動小数点数が、最上位ビットから順に符号1ビット、指数部3ビット

以下の問題が分かりません。

8ビット浮動小数点数が、最上位ビットから順に符号1ビット、指数部3ビット、仮数部4ビットで構成されるとしたとき、10進数 0.1 を以下に示す過程で浮動小数点数化した。空欄を適当な数値でうめなさい。なお、仮数部の最上位ビットは1になるように指数部を調整するものとし、指数部は2の補数表記を用いるものとする。また無限小数については小数点以下10桁め以降は「...」で省して表記すること。
10進数 0.1を2進数にすると（ア)(2)となる。これを小数点以下最上位桁が1になるように変形すると（イ）(2) X 2^nとなる。nを3ビットの2進数で表すと(ウ）(2)である。よって浮動小数点数では(エ) (2)のように表現できる。この値は元の0.1よりも1/（オ）小さくなる。

(ア)0.0001100110...
(イ)1.1001100110...
(ウ)100
(エ)01001001
(オ)

途中までといてみたのですが(オ)が分かりません
詳しい方教えてください

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/23 11:54

No.2 です。

問題文をまじめに読んでいなくて、#2 では勝手に「IEEE のケチ表現」（仮数部を「1.****～」と表して、整数部の「１」を省略する）と解釈して処理しました。
（質問者さんもそうしたようですね）

問題文の（イ）は「これを小数点以下最上位桁が1になるように変形すると」とあるので、「IEEE のケチ表現」とは違うようです。

それでやると

0.1[10] = 1 × 10^(-1)
　　　　　= 0 × (1/2) + 0 × (1/4) + 0 × (1/8) + 1 × (1/16) + 1 × (1/32) + ･･･
　　　　　= 0.00011(0011)[2]
(0011) は以降無限繰り返しということ。

よって、10桁まで表記すれば
　　　= 0.00011 0011 0...　　　　←ア

仮数部の小数点以下最上位桁が1になるように変形すると　←※ここを訂正
　　0.1100 1100 11... × 2^(-3)　　　　←イ　　　　←※ここを訂正

※※※※※　↓これに伴って、以下すべてが訂正となります。

従って、指数部は
　-3[10] = -011[2]
これを「負数を2の補数で表わす3ビット」で表記すると
・「011」の「０」と「１」を逆転させて　→　100
・1 を加えて
　　100[2] + 001[2] = 101[2]　　　←ウ

以上から、0.1[10] の対応する浮動小数点の2進数は、
　　01011100[2]　　　　　　←エ

この「エ」の値を再び「10進数」に戻せば
　0.1100[2] × 2^(-3)
= 0.0001100[2]
= 1 × (1/16) + 1 × (1/32) + 0 × (1/64) + 0 × (1/128)
= (16 + 8)/256
= 24/256

元の10進数は 0.1[10] = 25.6/256 なので、その差は
　25.6/256 - 24/256 = 1.6/256 = 1/160　　　　←オ


問題文のやり方だと、「IEEE のケチ表現」に対して、仮数部の１ビット分だけ精度を損しますね。
それは「ビット落ち」のある「桁数の決まった数値処理」では大きな「欠陥」になりますね。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/23 04:11

10進数

0.1
を2進数にすると

(ア)0.0001100110…
………………………_(2)となる
これを小数点以下最上位桁が1になるように変形すると

(イ)0.11001100110…
………………………_(2)×2^nとなる
nを3ビットの2進数で表すと
(ウ)101_(2)
である
よって浮動小数点数では
(エ)01011100_(2)
のように表現できる
この値は元の
0.1
よりも
1
/
(エ)160
小さくなる

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/23 00:29

まずは、基本事項として「n 進数の abcde.fg」とは

　a × n^4 + b × n^3 + c × n^2 + d × n^1 + e × n^0 + f × n^(-1) + g × n^(-2)

ということです。

一方、10進数で 0.1 を２進数で表わすには

①　0.1 × 2 = 0.2　繰上りなし
②　0.2 × 2 = 0.4　繰上りなし
③　0.4 × 2 = 0.8　繰上りなし
④　0.8 × 2 = 1.6　繰上りあり。残り 0.6
⑤　0.6 × 2 = 1.2　繰上りあり。残り 0.2
これ以降②～⑤を繰り返し。

従って、「n進数」を [n] で書くとして

　0.1[10] = 1 × 10^(-1)
　　　　　= 0 × (1/2) + 0 × (1/4) + 0 × (1/8) + 1 × (1/16) + 1 × (1/32) + ･･･
　　　　　= 0.00011(0011)[2]
(0011) は以降無限繰り返しということ。

よって、10桁まで表記すれば
　　　= 0.00011 0011 0...　　　　←ア

仮数部の最上位ビットが「１」になるようにすると
　　1.100 1100 110... × 2^(-4)　　　　←イ

従って、指数部は
　-4[10] = -100[2]
これを「負数を2の補数で表わす3ビット」で表記すると
・「100」の「０」と「１」を逆転させて　→　011
・1 を加えて
　　011[2] + 001[2] = 100[2]　　　←ウ

以上から、0.1[10] の対応する浮動小数点の2進数は、仮数部は「イ」の整数部を除いて
　　01001001[2]　　　　　　←エ

この「エ」の値を再び「10進数」に戻せば
　1.1001[2] × 2^(-4)
= 0.00011001[2]
= 1 × (1/16) + 1 × (1/32) + 0 × (1/64) + 0 × (1/128) + 1 × (1/256)
= (16 + 8 + 1)/256
= 25/256

元の10進数は 0.1[10] = 25.6/256 なので、その差は
　25.6/256 - 25/256 = 0.6/256 = 1/426.666･･･ ≒ 1/427　　　　←オ

No.1 回答者： xs200 回答日時： 2023/07/22 18:13

自分で確認してないので質問から判断すると仮数部は1.1001

1+1/2+1/16=25/16
0.1-25/16/16
=1/10-25/256
=3/1280
≒1/427