テイラー展開において疑問があります。 画像のテイラー展開はz=0の周りで展開してf(0.001)の時

テイラー展開において疑問があります。

画像のテイラー展開はz=0の周りで展開してf(0.001)の時の値を導いているのですが、仮にz=0.001の周りで展開した場合はf(0.001)の値はどうなるのでしょうか？
どうか、z=0.001の周りで展開した場合でのf(0.001)の値を導くまでを画像のように過程の計算を用いて教えてください。
また出来れば、z=1の周りで展開した場合でのf(0.001)の値を導くまでを画像のように過程の計算を用いて教えて頂きたいです。

もう一つ、疑問があるのですが、なぜテイラー展開とマクローリン展開はn=0〜∞のようにnが負の値までは考慮出来ないのでしょうか？


どうか詳しく教えてください。

質問者からの補足コメント

• というか、なぜ事前にx=a における f(a), f’(a), f’’(a), を求められないのでしょうか？
  
  というのも、画像の計算ではz=0.001の時のf(0.001)は求められてるため、事前にx=a における f(a), f’(a), f’’(a), を求められるのではないかと考えています。

    補足日時：2023/10/03 17:56

• 補足申し訳ありません。
  
  ある方からは
  f(z)=1/(z^2 - 1) について、
  定点 z=a におけるTaylor展開をするには、
  f(z)=(-1/2){1/(1-a-u) + 1/(1+a+u)}, (z-a=u とおく)
  これをuについてMaclaurin展開します。
  ---------------
  1/(1-a-u)=(1/(1-a))*{1+(u/(1-a))+(u/(1-a))^2+...},
  1/(1+a+u)=(1/(1+a))*{1-(u/(1-a))+(u/(1-a))^2-...}.
  です。ただし、min【|u/(1-a)|, |u/(1+a)|】<1 が条件。
  ---------------------
  a=0.001 とすれば、z=0.001のまわりでの展開です。
  
  (次の補足に続きます。)

    補足日時：2023/10/03 18:10

• と解答を頂き、その後
  「「f(z)=(-1/2){1/(1-a-u) + 1/(1+a+u)}, (z-a=u とおく)」すなわち、z=0.001に限りなく近いa(例えば0.000999など、(z=0.001とa=0.000999の差分は微量のu=0.000001))とz=0.001とz=0.001に限りなく近いaの差分の微量のuで近似式を作ると言う事だとわかりました。」
  
  「なるほど、z=0.001の周りで展開した場合はf(0.001)の値を導くには、
  a=0.000999 と、z=0.001として、f(0.001)を求めるにはa=0.000999 とz=0.001をf(z)=(-1/2){1/(1-a-u) + 1/(1+a+u)}に代入すれば良いのですね。
  (次の補足に続きます)

    補足日時：2023/10/03 18:12

• しかし、z=1の周りで展開した場合でのf(0.001)の値を導く場合は、
  a=1よりaは1であるため、z=0.001に近い値ではありません。
  aはzに近い値ではないですが、近似値f(0.001)として誤差を承知の上で、z=0.001とa=1などとしてf(z)=(-1/2){1/(1-a-u) + 1/(1+a+u)}に代入すれば良いのでしょうか？」
  
  と返事をしたのですが、
  相手から頂いた解答と私の書いた返事に関しては何が間違っているのでしょうか？
  
  どうかわかりやすく詳しく教えてください。

    補足日時：2023/10/03 18:13

• >> f(z) を z = 0 中心にテイラー近似することで f(0.001) を求めることはできますが、
  
  そうですね。
  z=a=0より、aを含む部分は0になるため、事前にx=a における f(a), f’(a), f’’(a), を求める必要はなく、
  zに0.001をただ代入するだけでf(0.001)の値を求める事が出来ますね。

    補足日時：2023/10/03 21:38

• tknakamuri様、補足で申し訳ありません。
  
  画像の赤い下線部の式はz=0の周りでz=0.001としてテイラー展開してf(0.001)の時の値を導いているのですが、
  仮にz=0.001の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合はf(0.001)の値はどうなるのでしょうか？...①
  また、
  出来れば、z=1の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合はf(0.001)の値はどうなるのでしょうか？...②
  
  どうか、画像にある赤い下線部の式(z=0の周りでz=0.001としてテイラー展開した式)からf(0.001)の値を導くまでの過程の計算のように①,②において、f(0.001)の値を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。(②においては、f(0.001)の値は求まらないとわかりましたが、どのような過程を経て求まらないのかを画像の過程の計算のように教えてほしいです。

  
    補足日時：2023/10/04 21:52

• >>f(z)=1/(z^2-1)
  でz=1を基準に展開すると
  z=1、Δz=-0.999 なら
  f(0.001)=f(1-0.999)=f(1)+Σa_n(-0.999)^n
  a_n=fのz=1でのn階微分係数/n!
  ですか、f(1)やa_1が計算出来ないのは明白ですよね。
  
  に関しては申し訳ないのですが、なぜf(1)やa_1が計算出来ないのでしょうか？
  f(1)の時に関してはf(z)=1/(z^2-1)の分母0になり数式として成り立たないためf(1)の時は計算が出来ないという事でしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2023/10/05 15:52

• 「z=1の周り、すなわち、展開中心z=2として
  z=0.001としてテイラー展開に関しては、
  ...
  f(a), f(a),f"(a)を求めるにもるf(a), f (a) f"(a)は0になってしまう為、
  ...
  としてテイラー展開とわかりました。」
  は間違いでした。正しくは、
  「z=1の周り、すなわち、展開中心z=1として
  z=0.001としてテイラー展開に関しては、テイラ
  一展開はローラン展開から導かれたとうこともありz=0.001は、テイラー展開の公式を導く使えでもコーシーの積分定理での円みたいなやつに含まれているように思えたが、z=1として、f(a), f(a),f"(a)を求めるにもf(a), f (a) f"(a)を求める過程で数式的に分母が0になってしまう為、
  z=1の周り、すなわち、展開中心z=1として、
  z=0.001としてテイラー展開は出来ないとわかりました。」です。

    補足日時：2023/10/06 02:20

• ローラン展開からテイラー展開を導いた時の円は、
  円というか画像みたいなドーナツ型の円(コーシーの積分公式)ですね。

  
    補足日時：2023/10/06 04:35

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/03 13:47

f(x) の、x = a を中心とするテイラー展開は

f(x) = Σ[k=0→∞] (f^(k)(a) /k!) (x-a)^k.
これを使って f(x) を計算するためには、
x=a における f(a), f’(a), f’’(a), ... の値が
事前に判っていなければならない。
x=a を中心とするテイラー展開を「使って」
f(a) の値を求めることはできない。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

あの申し訳ありません。
なぜx=a を中心とするテイラー展開を「使って」
f(a) の値を求めることはできないのでしょうか？

お礼日時：2023/10/03 17:50