関数f(x)＝ x³‐3ax²+3ax+2 が極値をもつようにａの値の範囲を求めよ。という問題につい

関数f(x)＝ x³‐3ax²+3ax+2 が極値をもつようにａの値の範囲を求めよ。という問題について質問です。

求め方は分かります。
微分して f'(x)＝3x²‐6ax+3a。
これの判別式D(36a²‐36a)がD＞0になる値を求めるんですよね？計算したらa＞1、a＜0となって丸でした。

ですが、ここで引っかかる事があって、
Dの判別式を出す前に、ａの式のままf'(x)を因数分解すると、
f'(x)
＝3x² ‐6ax+3a
＝3(x²‐2ax+a)
＝3(x‐a)²
となり、
f'(x)＝0となるのは、x＝aのとき。 となります
するとａがどんな値だったとしてもxは重解になるんじゃないでしょうか……？
いや、本当はならないのは知っています。
ですが何故でしょうか？aのまま因数分解分解してはいけないのでしょうか……？因数分解しても値は変わりませんよね、？
それにf(x) (※a≠0)が極大値○○をもつように定数ａを定めよ などという問題では ａの式のまま因数分解しますよね、、？

凄く基本的で 自分がどこかしら勘違いしてるのも矛盾してるであろうことを聞いているのも分かってます。
ですが分からないのでどなたか教えてください、、毎度毎度申し訳ないです、、、

質問者からの補足コメント

• 

  っあーーーー！！！！
  待って、ほんとにすみません、f'(x)の最後の3aのａの部分がa²じゃないから因数分解出来ませんでしたね？！？！
  あ〜〜〜〜〜もうほんとに嫌だ(TT)すみません(TT)(TT)(TT)もっと基礎頑張らなきゃダメですね、、、
  身を改めます。。。
  
  一応聞いてもよろしいでしょうか、
  もしも3aの部分が3a²だったらこの関数f(x)は極値を持たず常に単調に増加 という事でよろしいのでしょうか、、？
  ほんっっっとにごめんなさい(TT)

    補足日時：2021/03/01 10:37

No.4 回答者： metabolian 回答日時： 2021/03/01 12:23

あ、もう「懺悔」されてましたね…。

失礼しました！

この回答へのお礼

いえいえ全然大丈夫です、、！
むしろこちらこそこんな基礎的な所に気づかないで申し訳ないです(TT)、、、懺悔致します、、、
でも助かりました…！ありがとうございました！

お礼日時：2021/03/01 13:04

No.3 回答者： metabolian 回答日時： 2021/03/01 12:22

>＝3x² ‐6ax+3a

>＝3(x²‐2ax+a)
>＝3(x‐a)²
>となり、
ここの2～3行目の式変形が間違ってます！

「3(x²‐2ax+a²)」じゃないと
因数分解して「3(x-a)²」にはなりません。

この回答へのお礼

そう！そうなんですよね、、！！！
んもーーーーほんとに自分バカで恥ずかしい限りです、、

お礼日時：2021/03/01 13:03

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2021/03/01 11:21

判別式D＝(36a²‐36a)がD＞0

36a(a‐1)がD＞0
a>0かつa>1
または、
a<0かつa<1
両方満たす範囲はa<0、a>1

この回答へのお礼

ありがとうございました！！

お礼日時：2021/03/01 12:58

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/03/01 10:47

たとえば、y=x³　のような場合、単調増加です。

y'(0)=0 となりますが、変曲点です。

この回答へのお礼

助かります！！！ありがとうございました！

お礼日時：2021/03/01 12:57