テイラー展開において疑問があります。 画像のテイラー展開はz=0の周りで展開してf(0.001)の時

テイラー展開において疑問があります。

画像のテイラー展開はz=0の周りで展開してf(0.001)の時の値を導いているのですが、仮にz=0.001の周りで展開した場合はf(0.001)の値はどうなるのでしょうか？
どうか、z=0.001の周りで展開した場合でのf(0.001)の値を導くまでを画像のように過程の計算を用いて教えてください。
また出来れば、z=1の周りで展開した場合でのf(0.001)の値を導くまでを画像のように過程の計算を用いて教えて頂きたいです。

もう一つ、疑問があるのですが、なぜテイラー展開とマクローリン展開はn=0〜∞のようにnが負の値までは考慮出来ないのでしょうか？


どうか詳しく教えてください。

質問者からの補足コメント

• というか、なぜ事前にx=a における f(a), f’(a), f’’(a), を求められないのでしょうか？
  
  というのも、画像の計算ではz=0.001の時のf(0.001)は求められてるため、事前にx=a における f(a), f’(a), f’’(a), を求められるのではないかと考えています。

    補足日時：2023/10/03 17:56

• 補足申し訳ありません。
  
  ある方からは
  f(z)=1/(z^2 - 1) について、
  定点 z=a におけるTaylor展開をするには、
  f(z)=(-1/2){1/(1-a-u) + 1/(1+a+u)}, (z-a=u とおく)
  これをuについてMaclaurin展開します。
  ---------------
  1/(1-a-u)=(1/(1-a))*{1+(u/(1-a))+(u/(1-a))^2+...},
  1/(1+a+u)=(1/(1+a))*{1-(u/(1-a))+(u/(1-a))^2-...}.
  です。ただし、min【|u/(1-a)|, |u/(1+a)|】<1 が条件。
  ---------------------
  a=0.001 とすれば、z=0.001のまわりでの展開です。
  
  (次の補足に続きます。)

    補足日時：2023/10/03 18:10

• と解答を頂き、その後
  「「f(z)=(-1/2){1/(1-a-u) + 1/(1+a+u)}, (z-a=u とおく)」すなわち、z=0.001に限りなく近いa(例えば0.000999など、(z=0.001とa=0.000999の差分は微量のu=0.000001))とz=0.001とz=0.001に限りなく近いaの差分の微量のuで近似式を作ると言う事だとわかりました。」
  
  「なるほど、z=0.001の周りで展開した場合はf(0.001)の値を導くには、
  a=0.000999 と、z=0.001として、f(0.001)を求めるにはa=0.000999 とz=0.001をf(z)=(-1/2){1/(1-a-u) + 1/(1+a+u)}に代入すれば良いのですね。
  (次の補足に続きます)

    補足日時：2023/10/03 18:12

• しかし、z=1の周りで展開した場合でのf(0.001)の値を導く場合は、
  a=1よりaは1であるため、z=0.001に近い値ではありません。
  aはzに近い値ではないですが、近似値f(0.001)として誤差を承知の上で、z=0.001とa=1などとしてf(z)=(-1/2){1/(1-a-u) + 1/(1+a+u)}に代入すれば良いのでしょうか？」
  
  と返事をしたのですが、
  相手から頂いた解答と私の書いた返事に関しては何が間違っているのでしょうか？
  
  どうかわかりやすく詳しく教えてください。

    補足日時：2023/10/03 18:13

• >> f(z) を z = 0 中心にテイラー近似することで f(0.001) を求めることはできますが、
  
  そうですね。
  z=a=0より、aを含む部分は0になるため、事前にx=a における f(a), f’(a), f’’(a), を求める必要はなく、
  zに0.001をただ代入するだけでf(0.001)の値を求める事が出来ますね。

    補足日時：2023/10/03 21:38

• tknakamuri様、補足で申し訳ありません。
  
  画像の赤い下線部の式はz=0の周りでz=0.001としてテイラー展開してf(0.001)の時の値を導いているのですが、
  仮にz=0.001の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合はf(0.001)の値はどうなるのでしょうか？...①
  また、
  出来れば、z=1の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合はf(0.001)の値はどうなるのでしょうか？...②
  
  どうか、画像にある赤い下線部の式(z=0の周りでz=0.001としてテイラー展開した式)からf(0.001)の値を導くまでの過程の計算のように①,②において、f(0.001)の値を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。(②においては、f(0.001)の値は求まらないとわかりましたが、どのような過程を経て求まらないのかを画像の過程の計算のように教えてほしいです。

  
    補足日時：2023/10/04 21:52

• >>f(z)=1/(z^2-1)
  でz=1を基準に展開すると
  z=1、Δz=-0.999 なら
  f(0.001)=f(1-0.999)=f(1)+Σa_n(-0.999)^n
  a_n=fのz=1でのn階微分係数/n!
  ですか、f(1)やa_1が計算出来ないのは明白ですよね。
  
  に関しては申し訳ないのですが、なぜf(1)やa_1が計算出来ないのでしょうか？
  f(1)の時に関してはf(z)=1/(z^2-1)の分母0になり数式として成り立たないためf(1)の時は計算が出来ないという事でしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2023/10/05 15:52

• 「z=1の周り、すなわち、展開中心z=2として
  z=0.001としてテイラー展開に関しては、
  ...
  f(a), f(a),f"(a)を求めるにもるf(a), f (a) f"(a)は0になってしまう為、
  ...
  としてテイラー展開とわかりました。」
  は間違いでした。正しくは、
  「z=1の周り、すなわち、展開中心z=1として
  z=0.001としてテイラー展開に関しては、テイラ
  一展開はローラン展開から導かれたとうこともありz=0.001は、テイラー展開の公式を導く使えでもコーシーの積分定理での円みたいなやつに含まれているように思えたが、z=1として、f(a), f(a),f"(a)を求めるにもf(a), f (a) f"(a)を求める過程で数式的に分母が0になってしまう為、
  z=1の周り、すなわち、展開中心z=1として、
  z=0.001としてテイラー展開は出来ないとわかりました。」です。

    補足日時：2023/10/06 02:20

• ローラン展開からテイラー展開を導いた時の円は、
  円というか画像みたいなドーナツ型の円(コーシーの積分公式)ですね。

  
    補足日時：2023/10/06 04:35

No.11 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2023/10/06 01:45

> テイラー展開において疑問があります。

　疑問があるのなら教科書を読んでテイラー展開の定義を確認しろ（笑）。いや、それより
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13603166.html
という状況なのだから、算数力をもっと鍛えなくてはwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

　漫才ネタなので、その図から感想文を書いておく。
　適当なプログラム言語で

　　f(z) = 1/(z^2-1)
　　M(z) = -1 - z^2 - z^4 - z^6 - z^8

を作成し、z に色々な値を代入すると収束半径 R なるものの正体がわかるかもしれない。何のことかさっぱりわからないかもしれない。

　0 < R < 1
　　f(0.8 + 0.3i) = -1.0395 -1.1088i
　　M(0.8 + 0.3i) = -1.13473 -1.40915i

　　f(0.2 + 0.3i) = -0.940102 -0.10744i
　　M(0.2 + 0.3i) = -0.940133 -0.107458i

　　f(0.6) = -1.5625
　　M(0.6) = -1.55305

　　f(0.05i) = -0.997506
　　M(0.05i) = -0.997506

　R > 1
　　f(1.02 + 1.05i) = -0.185805 -0.374723i
　　M(1.02 + 1.05i) = -18.1532 + 5.48792i

　　f(1.2 + 1.5i) = -0.11148 -0.221728i
　　M(1.2 + 1.5i) = -136.221 -101.711i

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/06 01:06

＞ 理由としてはz=2の周りでz=0.001とすると

＞ f(z)=(-1/2)[1/(1-a-u) + 1/(1+a+u)},(z-a=u とおく）のz-a=uにおいて
＞ 差分uが大きいため誤差が大きい近似式となり、近似式として使い物にならないため
＞ z=2の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合は無理なのかなと思う事にします。

「近似式として使い物にならない」という言葉の定義を書いてほしいもんだが...
z=2 の周りで f(z) をテイラー展開しても f(0.001) の計算に役立たない理由は、
f(z)=1/(z^2 - 1) の z=2 を中心とするテイラー展開の収束半径は
展開中心 z=2 から一番近い f(z) の特異点 z=1 までの距離 1 であって、
収束円である z=2 を中心とし半径 1 の円の内部に z=0.001 が含まれないから。
収束円外で展開式を運用しても、収束しないから意味がないからである。
「思う事にします」って、何さ？ 君の感情に、数学上何か意味あんの？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> z=2 の周りで f(z) をテイラー展開しても f(0.001) の計算に役立たない理由は、
f(z)=1/(z^2 - 1) の z=2 を中心とするテイラー展開の収束半径は
展開中心 z=2 から一番近い f(z) の特異点 z=1 までの距離 1 であって、
収束円である z=2 を中心とし半径 1 の円の内部に z=0.001 が含まれないから。

より、z=2の周りで、すなわち、展開中心z=2とすると、中心z=2であり、z=2 から一番近い f(z) の特異点 z=1 までの距離 1 である。
しかし、その距離1はz=2の周りで、すなわち展開中心z=2としてz=0.001を含んでいない為、z=2の周りで、すなわち、展開中心z=2とすると、テイラー展開の式は導けないとわかりました。...④

確かにテイラー展開はローラン展開から生まれたような物でした。そんなローラン展開はコーシーの積分定理から導かれて円に特異点が含まれるか含まれないかでローラン展開していた。

それを考えると、ローラン展開から導かれたテイラー展開において、円の中に特異点ではないですが、④よりz=2をz=0.001が含まれないためz=2の周り、すなわち、展開中心z=2としてz=0.001としてテイラー展開出来ないとわかりました。



z=1の周り、すなわち、展開中心z=2としてz=0.001としてテイラー展開に関しては、テイラー展開はローラン展開から導かれたとうこともありz=0.001は、テイラー展開の公式を導く使えでもコーシーの積分定理での円みたいなやつに含まれているように思えたが、z=1として、f(a), f’(a), f’’(a)を求めるにもるf(a), f’(a), f’’(a)は0になってしまう為、
z=1の周り、すなわち、展開中心z=2としてz=0.001としてテイラー展開とわかりました。

お礼日時：2023/10/06 02:07

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/05 22:31

なんだか質疑応答が長くなっているなあ...

質問者は、テイラー展開が何者なのか知らないまま使おうとしているように見える。
最低限、基本的な教科書は読んで、その上でどこが解らなかったか質問しようよ。
ノー勉で「解りません解りません」だけ言ってても、ゴールは永遠に見えてこない。

No.3〜No.8 の応答を見ると、質問者は
冪級数の収束半径は展開中心から一番近い特異点までの距離だ
ってことを理解してない。冪級数展開が意味を持つのは収束円の中だけで、
収束円は展開中心を中心とし一番近い特異点を境界上に持つ円である。
この話は、最低限教科書と呼べるレベルの本を通読すれば、証明が理解できたか
は別として、暗記すべき事実ととしては天下りに押し付けられるもので、
これを知らないで質問掲示板で質問してるのは、勉強しないで答えを得たい
というカンニング根性に他ならない。ふざけんなよ、と。

で、No.2 への応答に戻ると、
f(0.001) の値を求めるために f(x) を x=0.001中心にテイラー展開しても、
展開の式は f(0.001) = f(0.001) + 0 + 0 + 0 + ... になるだけで
何一つ計算は進まないよ、ってだけの話だ。

この回答へのお礼

テイラー展開で「冪級数の収束半径は展開中心から一番近い特異点までの距離」などは初めて聞きました。

z=2の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合が無理(テイラー展開出来ない)な理由としてはz=2の周りでz=0.001とするとf(z)=(-1/2)[1/(1-a-u) + 1/(1+a+u)},(z-a=u とおく）のz-a=uにおいて差分uが大きいため誤差が大きい近似式となり、近似式として使い物にならないためz=2の周りで
z=0.001としてテイラー展開した場合は無理なのかなと思う事にします。

お礼日時：2023/10/06 00:11

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/05 17:24

>z=2の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合

z=2を基準にテーラー展開してf(2-1.999)
=f(2)+∑a_n(-1.999)^n
で求めるという話なら無理。

収束半径内に特異点は存在出来ません。

この回答へのお礼

「z=2を基準にテーラー展開してf(2-1.999)
=f(2)+∑a_n(-1.999)^n
で求めるという話なら無理。

収束半径内に特異点は存在出来ません。」

なぜ無理なのでしょうか？
どうか理由を教えて下さい。
(個人的には無理な理由としてはz=2の周りでz=0.001とするとf(z)=(-1/2){1/(1-a-u) + 1/(1+a+u)}, (z-a=u とおく)のz-a=uにおいて差分uが大きいため誤差が大きい近似式となり、近似式として使い物にならないためz=2の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合は無理なのかなと思いました。)


また、「収束半径内に特異点は存在出来ません」に関しては、テイラー展開はローラン展開と違い特異点は関係ないと思うのですが、
なぜ、「収束半径内に特異点は存在出来ません」と書かれたのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。
どうか理由を教えて頂きたい

お礼日時：2023/10/05 18:12

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/05 14:36

>z=0の周りでz=0.001として展開することになるため

「z=0の周りでz=0.001として展開」って何？
私には全く意味不明です。

この回答へのお礼

すいません。

>>fはz=土1で計算不能で微分不可能だからです。

に関してはz=2の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合はf(z)=1/(z^2-1)の分母0にならず数式として成り立つため、f(0.001)の値は求まるのでしょうか？

お礼日時：2023/10/05 15:02

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/05 11:50

>なぜf(1)やa_1が計算出来ないのでしょうか？

fはz=±1で計算不能で微分不可能だからです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> テーラー展開は、あるzを基準に展開する時
f(z+Δz)=f(z)+∑a_n(Δz)^n(n=1~∞)
という形に展開することです。
z=0.001、Δz=0なら
f(0.001)=f(0.001)
です。
#記号をx→zに改めました。

に関してはz=0.001の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合はf(0.001)=f(0.001-0)となるため、z=0の周りでz=0.001として展開することになるため、z=0の周りでz=0.001としてテイラー展開してf(0.001)の時の値と同じになるわけでしょうか？


>> fはz=±1で計算不能で微分不可能だからです。

ではz=2の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合はf(z)=1/(z^2-1)の分母0にならず数式として成り立つため、f(0.001)の値は求まるのですか？

お礼日時：2023/10/05 11:55

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/05 08:23

テーラー展開は、あるzを基準に展開する時

f(z+Δz)=f(z)+∑a_n(Δz)^n(n=1~∞)
という形に展開することです。
z=0.001、Δz=0なら
f(0.001)=f(0.001)
です。
#記号をx→zに改めました。

f(z)=1/(z^2-1)
でz=1を基準に展開すると
z=1、Δz=-0.999 なら
f(0.001)=f(1-0.999)=f(1)+Σa_n(-0.999)^n
a_n=fのz=1でのn階微分係数/n!
ですか、f(1)やa_1が計算出来ないのは明白ですよね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> テーラー展開は、あるzを基準に展開する時
f(z+Δz)=f(z)+∑a_n(Δz)^n(n=1~∞)
という形に展開することです。
z=0.001、Δz=0なら
f(0.001)=f(0.001)
です。
#記号をx→zに改めました。

なるほど、z=0.001の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合はf(0.001)=f(0.001-0)となるため、z=0の周りでz=0.001として展開することになるため、z=0の周りでz=0.001としてテイラー展開してf(0.001)の時の値と同じになるわけでしょうか？


>>f(z)=1/(z^2-1)
でz=1を基準に展開すると
z=1、Δz=-0.999 なら
f(0.001)=f(1-0.999)=f(1)+Σa_n(-0.999)^n
a_n=fのz=1でのn階微分係数/n!
ですか、f(1)やa_1が計算出来ないのは明白ですよね。

に関しては申し訳ないのですが、なぜf(1)やa_1が計算出来ないのでしょうか？
f(1)の時に関してはf(z)=1/(z^2-1)の分母0になり数式として成り立たないためf(1)の時は計算が出来ないという事でしょうか？
(逆にz=2の周りでz=0.001としてテイラー展開した場合はf(z)=1/(z^2-1)の分母0にならず数式として成り立つため、f(0.001)の値は求まるのかなと考えています。)

どうかよろしくお願い致します。

また、お時間のある時で良いので、
補足2023.10.3 18:10〜2023.10.3 18:13に書いたテイラー展開に関する私の考え方は正しいかどうかを教えて頂きたいです。

お礼日時：2023/10/05 11:19

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/04 21:34

>つまり、その項の値が小さすぎて≒0のように扱われるため

>0になるということを伝えたいのでしょうか？

いいえ。テーラー展開は
f(0.001+Δx)=f(0.001)+Σa_n(Δx)^n
という形になるので、Δx=0なら第一項しか残りません。
単純にゼロのn乗は全てゼロです。

>ちなみに、f(0.001)をx=1辺りでテイラー展開した
>場合はどうなるのでしょうか？

テーラー展開は特異点辺りでは不可能です。
微分係数が求まらないので。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> いいえ。テーラー展開は
f(0.001+Δx)=f(0.001)+Σa_n(Δx)^n
という形になるので、Δx=0なら第一項しか残りません。
単純にゼロのn乗は全てゼロです。

x=0.001として、x=0.001の周りでテイラー展開するため、「x=0.001の周り」よりΔx=0.001となるため、第一項以外も0に限りなく近い微量な値ではあれど、0ではないと思うのですが。
私は何を間違っているのでしょうか？


>> テーラー展開は特異点辺りでは不可能です。
微分係数が求まらないので。

申し訳ありません。なぜ微分係数が求められないのか教えて頂けないでしょうか。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/10/04 21:48

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/04 08:40

f(0.001)をx=0.001辺りでテイラー展開して

x=0.001入れたら、高次の項は全部消えるので
f(0.001)=f(0.001)
となるだけです。つまんないです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> x=0.001入れたら、高次の項は全部消える

つまり、その項の値が小さすぎて≒0のように扱われるため0になるということを伝えたいのでしょうか？

ちなみに、f(0.001)をx=1辺りでテイラー展開した場合はどうなるのでしょうか？

お礼日時：2023/10/04 19:00

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/03 18:24

＞ なぜ事前にx=a における f(a), f’(a), f’’(a), を求められないのでしょうか？

＞ というのも、画像の計算ではz=0.001の時のf(0.001)は求められてるため、
＞ 事前にx=a における f(a), f’(a), f’’(a), を求められるのではないか
＞ と考えています。

画像の 3行目で f(0.001) の値が求められている(近似であって真値じゃないけど)
のは、 f(z) = 1/(z^2 - 1) の z に z = 0.001 を代入したからです。
そこでは、テイラー展開を使っていません。

f(z) を z = 0 中心にテイラー近似することで f(0.001) を求めることはできますが、
z = 0.001 を中心に展開するなら、展開するためにまず f(0.001) の値が必要です。
f(z) を z = 0.001 中心にテイラー展開することで f(0.001) の値を求めるというのは
循環論法です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるほど、

>>f(z) = 1/(z^2 - 1) の z に z = 0.001 を代入したからです。

このやり方でf(a)やf'(a)やf"(a)の値を求めてからf(z)をテイラー展開して、zに0.001を代入してf(0.001)の値を求めたとわかりました。


出来れば補足にも解答して下さるとありがたいです。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/10/03 18:52