数学Ⅱ 図形と方程式についてです。 円 x^2+y^2=1と直線 y=2x+mが共有点を持つ時、定数

数学Ⅱ 図形と方程式についてです。

円 x^2+y^2=1と直線 y=2x+mが共有点を持つ時、定数mの範囲を求めよ。
という問題について、4プロの答えでは判別式を使っていますが、予備校では円をCとして直線をlとおき、Cの中心とlとの距離dを求め、円Cの半径と組み合わせて不等式をつくり求めるという解法で習いました。

自分的に予備校で習った解法の方が解きやすいのでそっちでやりたいのですが、それで計算するとm^2がでてこず、答が一つもしくは√がついたままで終わってしまいます。

予備校で習った解法は全ての問題に対応していないということでしょうか？また、予備校で習った解法(判別式以外)でもとまるのでしたらそれも教えてください。

質問者からの補足コメント

• 4プロ=数研出版編集部　4プロセス数学Ⅱ+B

    補足日時：2023/10/08 09:40

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/08 16:24

C:x^2+y^2=1

L:y=2x+m
Lと垂直な直線の傾きは-1/2だから
傾き-1/2でCの中心(0,0)を通る直線は
y=(-1/2)x
とLとの交点を(x,y)とすると
2x+m=y=(-1/2)x
(2+1/2)x=-m
x=-2m/5
y=(-1/2)(-2m/5)=m/5
(x,y)=(-2m/5,m/5)
とCの中心(0,0)との距離dは
d
=√{(-2m/5)^2+(m/5)^2}
=√(4m^2/25+m^2/25)
=√(5m^2/25)
=√(m^2/5)
=|m|/√5

円Cの半径は1だから

|m|/√5≦1
|m|≦√5
∴
-√5≦m≦√5

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/11 13:35

直線 ax+by+c=0と原点との距離dは

d=|c|/√(a^2+b^2)
だからこの問題では
d=|m|/√5
d≦1にすれば良いので
|m|≦√(5)→ -√(5)≦m√(5)

同じ問題の解き方だから
「途中式」にm^2が無いのはおかしいと思うのは
何の根拠も無いよね。

類似性を探るなら、原点と直線との距離の公式の導出を
詳しく追って見た方が良いと思うよ。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/10/08 14:25

＞予備校で習った解法は全ての問題に対応していないということでしょうか？

問題が違えば 解法も異なることは 当然あり得ます。
質問の問題では、グラフを考えてみてください。
どちらも 同じことをしていることが 分かるのでは。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/08 10:12

問題集の解答は、

x^2 + (2x+m)^2 = 1 が実数解 x を持つように
判別式条件から (4m)^2 - 4・5・(m^2 - 1) ≧ 0 を解いて
-√5≦ m ≦ √5. というものですね？

塾の解法は、
C と l の距離が ｜0-(2・0+m)｜/√(1^2+(-2)^2) であることから
｜m｜/√5 ≦ 1 を解いて -√5 ≦ m ≦ √5. でしょうか。

塾の解法では、m^2 は登場しないけれど、
円と直線の距離の公式から √5 が現れるので
同じ答えになります。

ちゃんと、両方の解法で
実際に解いてみてから質問していますか？

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/10/08 09:47

それで良いです。

共有点だから答は1個です。
mはy=2x+mのmなんだから、2乗では有りません。
たまたまルートの場合だって有ります。