数3の複素数のことです。 αとβという複素数があり、|α|＝|β|=|α−β|＝１であるとき、2β−

数3の複素数のことです。
αとβという複素数があり、|α|＝|β|=|α−β|＝１であるとき、2β−αおよびβ/αって図形的にいうとどのようなことを表しているか教えて欲しいです。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/24 20:56

|α|=|β|=|α-β|=1

α,βの共役複素数をα~,β~とする
αα~=|α|^2=1
α~=1/α
ββ~=|β|^2=1
β~=1/β

1
=|α-β|^2
=(α-β)(α~-β~)
=(α-β)(1/α-1/β)
=1-α/β-β/α+1
=2-α/β-β/α

1=2-α/β-β/α
↓両辺にβ/α+α/β-1を加えると
β/α+α/β=1

z=β/αとすると

z+1/z=1
z^2+1=z
z^2-z+1=0
(z-1/2)^2=-3/4
z-1/2=±i√3/2
z=(1±i√3)/2
∴
β/α=(1±i√3)/2

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2024/01/23 19:48

No.3 です。

最後の方で三角関数の値を間違っていましたね。

（誤）
　β/α = cos[(θ ± 60°) - θ] + i･sin[(θ ± 60°) - θ]
　　　= cos(±60°) + i･sin(±60°)
　　　= (√3)/2 ± (1/2)i

↓

（正）
　β/α = cos[(θ ± 60°) - θ] + i･sin[(θ ± 60°) - θ]
　　　= cos(±60°) + i･sin(±60°)
　　　= 1/2 ± [√3)/2]i

ですね。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/23 17:26

|α|=|β|=|α-β|=1

α,βの共役複素数をα~,β~とする
|α|=1
だから
α=e^{ia}となる実数aがある
α~=e^{-ia}=1/α
|β|=1
だから
β=e^{ib}となる実数bがある
β~=e^{-ib}=1/β

1
=|α-β|^2
=(α-β)(α~-β~)
=(α-β)(1/α-1/β)
=1-α/β-β/α+1
=2-α/β-β/α

1=2-α/β-β/α
↓
β/α+α/β=1

z=β/αとすると

z+1/z=1
z^2+1=z
z^2-z+1=0
(z-1/2)^2=-3/4
z-1/2=±i√3/2
z=(1±i√3)/2
∴
β/α=(1±i√3)/2

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/01/23 08:58

「原点とα、βが一辺の長さが１の正三角形の頂点になっている」

ということに気づけば、いろいろわかるよ。

例えばβ/α は「偏角が±60度で大きさが１の複素数」
ということは複素数の性質の基礎を知っていれば瞬時にわかる。

後は自分で考えてみよう。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/01/22 20:52

「ベクトル」は習いましたよね？

複素数を複素平面で考えるには、実数をｘに、虚数をｙにして「x-y平面のベクトル」として考えると分かりやすいです。

|α| ＝ |β| = 1 ということは、α, β は原点を中心とした半径１の円周上にあるということです。

α - β は「β の先端から α の先端に向かうベクトル」になるので、
　|α - β| = 1
ということは、原点と α, β は１辺の長さが 1 の正三角形を形成します。
（相対的な位置関係だけで、絶対位置は決まりません）

従って、ベクトルの考え方から「2β - α」は、
「α の先端から β の２倍の先端に向かうベクトル」
ということが分かります。
(複素数としては、その「α の先端から」の部分を原点に平行移動しないといけません）

「β/α」は
　|β/α| = |β|/|α| = 1
であり、
　α = cosθ + i･sinθ
と書けば、正三角形なので
　β = cos(θ ± 60°) + i･sin(θ ± 60°)
となることから
　β/α = cos[(θ ± 60°) - θ] + i･sin[(θ ± 60°) - θ]
　　　= cos(±60°) + i･sin(±60°)
　　　= (√3)/2 ± (1/2)i
図形的には、原点、実軸の 1 と「正三角形」をなすもう１つの角（虚数のプラス側とマイナス側の２つ）ということになります。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/01/22 19:48

> 図形的に

とは、複素平面で、という話でしょうね。すると
> |α|＝|β|=|α−β|＝１
とは、α, β, 0が一辺1の正三角形になっているということなので、βはαを0のまわりに60度または-60度回転したもの。だから、
　　γ = e^(iπ/3)=(1 + (√3)i)/2 または γ = e^(-iπ/3)=(1 - (√3)i)/2
とすれば、
　　β = αγ
です。従って
　　β/α = γ
である。そして、
　　2β−α = (2γ - 1)α = i(√3)α または 2β−α = (-i)(√3)α
なので、2β−αは(√3)α を0のまわりに90度または-90度回転したもの。

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2024/01/22 19:15

複素数平面において、

2β-αは大きさ√3で原点とαを結ぶ直線に直交するベクトルが想起されます。
β/αは±π/3の偏位角を持つ大きさ1のベクトルが
想起されます。