数列のはさみうちの原理について質問です。 写真の矢印の変換がよく分かりません。どのような変換をしたの

数列のはさみうちの原理について質問です。
写真の矢印の変換がよく分かりません。どのような変換をしたのか詳しく説明して下さい。m(_ _)m

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/22 17:15

すべての自然数nに対して

F(n+1)≦r・F(n)
が成り立つとする

P(n)=[F(n)≦F(1)・r^(n-1)] とする

P(1)=[F(1)≦F(1)・r^(1-1)=F(1)]は真

ある自然数nに対してP(n)が真と仮定すると
F(n)≦F(1)・r^(n-1)
↓両辺にrをかけると
r・F(n)≦F(1)・r^n

↓これと　F(n+1)≦r・F(n) から

F(n+1)≦F(1)・r^n

P(n+1)=[F(n+1)≦F(1)・r^n]も真だから
帰納法により
すべて自然数nに対してP(n)が真だから
すべて自然数nに対して
F(n)≦F(1)・r^(n-1)
が成り立つ
-------------
F(n)=|a(n)-√2|
とすれば
F(n+1)=|a(n+1)-√2|
F(1)=|a(1)-√2|
だから

すべての自然数nに対して
|a(n+1)-√2|≦r・|a(n)-√2|
ならば
すべての自然数nに対して
|a(n)-√2|≦|a(1)-√2|・r^(n-1)
が成り立つ

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2024/02/21 14:42

| a n+1 -√2<= r*| a n ‐　√2　|

ここで　F(n)=| a n - √2 | とおけば
F(n+1)<=r* F(n)
F(n)<=r*F(n-1)
∴F(n)/F(n-1)<=r
また
F(n-1)/F(n-2)<=r
合成すれば
F(n)/F(n-2)<=r^2
同様に合成していけば　結局
F(n)/F(1)<=r^n-1
∴F(n)<=F(1)*r^n-1 また
∴| a n -√2<= r^n-1*| a 1 ‐　√2　|
r=(3-√２)/３=１－ (√2/3)から　　0<r<1 ∴r^∞ →0

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/21 13:11

帰納法によります。

　F[n+1]≦rF[n] , F[n], r>0
ならば
　F[n+1]≦rF[n]≦r(rF[n-1])=r²F[n-1]≦・・・≦r^nF[1]
→ F[n]≦r^(n-1)F[1]