No.3ベストアンサー
- 回答日時:
すべての自然数nに対して
F(n+1)≦r・F(n)
が成り立つとする
P(n)=[F(n)≦F(1)・r^(n-1)] とする
P(1)=[F(1)≦F(1)・r^(1-1)=F(1)]は真
ある自然数nに対してP(n)が真と仮定すると
F(n)≦F(1)・r^(n-1)
↓両辺にrをかけると
r・F(n)≦F(1)・r^n
↓これと F(n+1)≦r・F(n) から
F(n+1)≦F(1)・r^n
P(n+1)=[F(n+1)≦F(1)・r^n]も真だから
帰納法により
すべて自然数nに対してP(n)が真だから
すべて自然数nに対して
F(n)≦F(1)・r^(n-1)
が成り立つ
-------------
F(n)=|a(n)-√2|
とすれば
F(n+1)=|a(n+1)-√2|
F(1)=|a(1)-√2|
だから
すべての自然数nに対して
|a(n+1)-√2|≦r・|a(n)-√2|
ならば
すべての自然数nに対して
|a(n)-√2|≦|a(1)-√2|・r^(n-1)
が成り立つ
No.2
- 回答日時:
| a n+1 -√2<= r*| a n ‐ √2 |
ここで F(n)=| a n - √2 | とおけば
F(n+1)<=r* F(n)
F(n)<=r*F(n-1)
∴F(n)/F(n-1)<=r
また
F(n-1)/F(n-2)<=r
合成すれば
F(n)/F(n-2)<=r^2
同様に合成していけば 結局
F(n)/F(1)<=r^n-1
∴F(n)<=F(1)*r^n-1 また
∴| a n -√2<= r^n-1*| a 1 ‐ √2 |
r=(3-√2)/3=1- (√2/3)から 0<r<1 ∴r^∞ →0
No.1
- 回答日時:
帰納法によります。
F[n+1]≦rF[n] , F[n], r>0
ならば
F[n+1]≦rF[n]≦r(rF[n-1])=r²F[n-1]≦・・・≦r^nF[1]
→ F[n]≦r^(n-1)F[1]
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