正規分布と対数正規分布の違いを教えてください。

Question

正規分布と対数正規分布の違いを教えてください。
ネットで調べてみたのですが、よく分かりませんでした。
よろしくお願いいたします。

kamiyasiro · Accepted Answer

No.4です。

対数正規乱数とは、No.4の上のグラフになるような乱数で、その各値を対数化すると下のグラフのように正規分布になる乱数のことです。

経済や物理などのシミュレーターに代入する値は、もとの値（上のグラフの値）を使います。

もとの値には、平均（算術平均）と標準偏差が与えられています（というか仮定されています）。対数化したときに正規分布になるよう乱数を作るのですが、与えられた平均と標準偏差を反映する必要があります。

そのため、rlnorm()の引数に、変換した値を入れています。

以上、マニアックな話でスミマセン。

しかし、世間には、単純に逆変換すればできると思っている人が意外と多いです。弊社では、シミュレータの活用が進んでいることもあり、社内で設計上の間違いが起きないよう教育カリキュラムに入れています。

そもそも、技術者であっても（理系であっても）「対数正規分布の平均値は幾何平均であること」すら気付いてない人が多いです。
その平均値をexp()で変換すれば、もとの分布の平均値に対応すると思っているのです。

指摘すれば気付いてくれますが・・・。

kamiyasiro · Answer

No.2です。訂正です。

誤）標準正規乱数を対数変換すれば出来るわけではない

正）標準対数正規乱数というものは、ありません。

そもそも負の値がありますから、変換できるわけないですね。失礼しました。

お詫びといいますか、罪滅ぼしとして、Rのrlnorm()関数を使った、対数正規乱数の生成方法をアップしておきます。

元の尺度でのμとσを反映した対数正規乱数を生成する方法です。
マニアックですが、開発現場では対数正規乱数はよく使います。

kamiyasiro · Answer

No.2です。すみません、No.2の図中の文章が隠れて切れている箇所がありました。

『loge10で割ればよい。ただし、Eは下記Scomを使い前ページの式であらかじめ求めておく。』です。

前ページの式とは、添付図のものです。
No.2の図中のE，Sの式の導出過程の途中式です。
この「代入」の時に、常用対数化したSを用いるということです。
下まで計算することなく、その式で得られたEを使います。

（社内教育資料からの転記のため、「前ページ」の記述があり、すみません）

対数正規分布って、なかなか一筋縄ではいきません。
対数尺を多用する技術者の苦労を知って頂けたらと思い書きました。

kamiyasiro · Answer

No.1です。

対数正規分布は奥が深いです。

「対数変換値の算術平均は幾何平均」であり、変換前の平均をμとしたとき、「対数軸上の算術平均Eは単なるμの対数値ではない」と書きましたが、対数変換後の算術平均Eと標準偏差Sは、対数変換前とどう関係があるか添付図で示しておきます。

このことは、あまり知られていませんが、疲労寿命等を扱う目的で対数変換を多用する技術者にとっては、非常に重要なリテラシーなのです。

なお、導出はネットを探せば出てくるハズです。
実際の計算は面倒なので、技術者はRのdlnorm()系の関数を使います。

ご質問者様は、他のご質問を見ると「標準対数正規乱数」が欲しいのではないかと思いますが、上記の関係から、標準正規乱数を対数変換すれば出来るわけではない（平均や±３σ幅が合わない等）ので、Rのrlnorm()関数等をご使用されることをお勧めします。

kamiyasiro · Answer

・横軸ｘの上に正規分布の確率密度曲線が乗っているのが、普通の正規分布です。
・事例としては、横軸「身長」の上に、正規分布の密度曲線が乗っているというものです。

・一方、対数正規分布というのは、横軸Log(x)上に正規分布の確率密度曲線が乗ります。
・事例としては、横軸「土地価格を対数変換した軸」の上に、正規分布の密度曲線が乗っている感じです。
・横軸を対数尺度からもとの等倍尺度に戻すと、土地価格の大きい側に裾野を引くような非対称分布になります。

・あと、注意点としては、対数正規分布の平均（分布の中心）は、「元尺度での平均値」を対数変換したものにはなりませんので、ご注意下さい。
・対数正規分布の平均（分布の中心）は幾何平均です。

No.4です。