No.2ベストアンサー
- 回答日時:
全自然数の集合N
をペアノの公理によって定義する
自然数の加法(+)を
1+1=1+=2
a+(b+)=(a+)+b=(a+b)+
と定義する
自然数の乗法(*)を
1*a=a*1=a
a*(b+)=ab+a
(a+)*b=ab+b
と定義する
(a,b)∈N×Nに対して
[a,b]={(x,y)∈N×N|x+b=a+y}と定義して
全整数の集合Zを
Z={[a,b]|(a,b)∈N×N}
と定義する
整数の加法(+)を
[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]
と定義する
Zは(+)に関して可換群になる
整数の乗法(*)を
[a,b]*[c,d]=[ac+bd,ad+bc]
定義する
(Z,+,*)は環になる
(a,b)∈Z×Nに対して
[a,b]={(x,y)∈Z×N|ay=bx}と定義して
全有理数の集合Qを
Q={[a,b]|(a,b)∈Z×N}
と定義する
有理数の加法(+)を
[a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd]
と定義する
Qは(+)に関して可換群になる
有理数の乗法(*)を
[a,b]*[c,d]=[ac,bd]
と定義する
Q-{0}は(*)に関して可換群になる
(Q,+,*)は体になる
A=(有理数のコーシー列の集合)とする
f∈A
g∈A
に対して
lim{n→∞}|f(n)-g(n)|=0のとき
f~g
と同値関係~を定義する
[f]={g∈A|g~f}とする
全実数の集合R
を
R={[f]|f∈A}
と定義する
実数の加法(+)を
[f]+[g]=[f+g]
と定義する
Rは(+)に関して可換群になる
実数の乗法(*)を
[f]*[g]=[fg]
と定義する
R-{0}は(*)に関して可換群になる
(R,+,*)は体になる
確かに整数を定義する前に自然数の乗法を定義しないと行けなかったですね。
この流れが一番キレイそうですね!
ありがとうございました。
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