自然数 整数 有理数 実数 加法 乗法 減法 除法 をペアノの公理から定義していくとき、どの順番が綺

自然数　整数　有理数　実数
加法　乗法　減法　除法
をペアノの公理から定義していくとき、どの順番が綺麗にできると思い
ますか？
自然数　加法　整数　乗法　有理数　有理数の加法　有理数の乗法　実数
実数の四則演算
この順番は無駄が多いですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/10 20:43

全自然数の集合N

をペアノの公理によって定義する

自然数の加法(+)を
1+1=1+=2
a+(b+)=(a+)+b=(a+b)+
と定義する

自然数の乗法(*)を
1*a=a*1=a
a*(b+)=ab+a
(a+)*b=ab+b
と定義する

(a,b)∈N×Nに対して
[a,b]={(x,y)∈N×N|x+b=a+y}と定義して
全整数の集合Zを
Z={[a,b]|(a,b)∈N×N}
と定義する
整数の加法(+)を
[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]
と定義する
Zは(+)に関して可換群になる

整数の乗法(*)を
[a,b]*[c,d]=[ac+bd,ad+bc]
定義する
(Z,+,*)は環になる

(a,b)∈Z×Nに対して
[a,b]={(x,y)∈Z×N|ay=bx}と定義して
全有理数の集合Qを
Q={[a,b]|(a,b)∈Z×N}
と定義する

有理数の加法(+)を
[a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd]
と定義する
Qは(+)に関して可換群になる

有理数の乗法(*)を
[a,b]*[c,d]=[ac,bd]
と定義する
Q-{0}は(*)に関して可換群になる

(Q,+,*)は体になる

A=(有理数のコーシー列の集合)とする
f∈A
g∈A
に対して
lim{n→∞}|f(n)-g(n)|=0のとき
f～g
と同値関係～を定義する
[f]={g∈A|g～f}とする

全実数の集合R
を
R={[f]|f∈A}
と定義する

実数の加法(+)を
[f]+[g]=[f+g]
と定義する
Rは(+)に関して可換群になる

実数の乗法(*)を
[f]*[g]=[fg]
と定義する
R-{0}は(*)に関して可換群になる

(R,+,*)は体になる

この回答へのお礼

確かに整数を定義する前に自然数の乗法を定義しないと行けなかったですね。
この流れが一番キレイそうですね！
ありがとうございました。

お礼日時：2024/05/14 09:29

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/11 09:00

Z や Q を、同値関係で割るのを忘れてるよ。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/09 19:09

アルキメデス的完備順序体で最小のものを実数体と定義します。

この体の単位元が生成する部分環を整数環と定義し、
整数環の分数体を有理数体と定義しましょう。
順序体から出発していますから、整数環には順序が入っており、
整数環の元で零元より大きいものを自然数とすればよい。
加法,乗法,減法,除法は、出発点で定義済です。
ペアノはタケモトさんにでも売ってあげましょう。

この回答へのお礼

そのようなアプローチもあるんですね。
勉強になります。
ありがとうございました。

お礼日時：2024/05/14 09:27