体について（代数学）

Question

代数学の問題で教えてほしいのですが、

Ｑ（有理数）、Ｒ（実数）、Ｃ（複素数）は体となることを証明せよ。

なんですが、全部を示さずとも、Ｃ（複素数）さえ示せれば、あとはＣ⊂Ｒ⊂ＱよりＲ、Ｑについても言えると思うのですが、Ｃが体であるためにはどう示せばいいのかわかりません。体についての定義は分かっていますが、どんな式を加法、乗法、逆元の計算をすればいいのでしょうか？できれば解法を教えてください、お願いしますm(__)m

good777 · Accepted Answer

*****■問題■***********************************************************************************
Ｑ（有理数）、Ｒ（実数）、Ｃ（複素数）は体となることを証明せよ。 
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★定義の確認★
数の計算の３大法則
結合法則：（ｘ・ｙ）・ｚ＝ｘ・（ｙ・ｚ）；（ｘ＋ｙ）＋ｚ＝ｘ＋（ｙ＋ｚ） 
交換法則：ｘ・ｙ＝ｙ・ｘ；ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ 
分配法則：ｘ・（ｙ＋ｚ）＝ｘ・ｙ＋ｘ・ｚ；（ｘ＋ｙ）・ｚ＝ｘ・ｚ＋ｙ・ｚ 
実数というものは加法と乗法の２つの演算を満たします。分配法則は
２つの演算の橋渡しとなる法則です。こんどは、２つの演算をもつ集合を考えてみましょう。
演算・と＋についてそれぞれモノイドと加群をなす 
分配法則を満たすこのような集合を環といいます。代表的な環はｍ次正方行列全体の集合などがあります。
また、乗法が交換法則を満たす環を可換環といいます。
そして、可換環でかつ乗法についても逆元をもつ場合、そのような集合を体といいます。代表的な体は有理
数全体の集合、実数全体の集合、ｎ次正則行列全体の集合などがあります。
http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~hamada80/math/math06.html
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Ｑ（有理数）、Ｒ（実数）、Ｃ（複素数）は体の見本みたいなものなのですが、これを証明せよというのです
から、

☆解法の指針☆
■任意の有理数ｘ、ｙ∈Ｑは適当な整数a,ｂ,ｃ,ｄによって,a/b,c/dと表せる。
として,演算の閉性など定義にあてはまることを示せばよいと思います。

■任意の実数ｘ、ｙ∈Rはそのまま、演算の閉性など定義にあてはまることを示せばよいと思います。

■任意の複素数ｘ、ｙ∈Ｑは適当な実数a,ｂ,ｃ,ｄによって,a+ib,c+idと表せる。
として,演算の閉性など定義にあてはまることを示せばよいと思います。
----------------------------------------------------------------------------------------------------
難しく考えすぎでは？

Mell-Lily · Answer

集合A,B,Cについて、
　A⊂B⊂C
ならば、
　Aが体を成す ⇒ Bが体を成す ⇒ Cが体を成す
ということは、一般的には成り立ちません。二項演算+と・が、Aに関して閉じているからと言って、BやCに関しても閉じているとは言えないからです。実際、RはQの、CはRの拡大体ですが、この問題の意図は、Q,R,Cのそれぞれが体を成すことを証明することにあるでしょう。勿論、ここで扱う二項演算は、通常の、有理数、実数、複素数についての加法と乗法です。

jmh · Answer

この問題は、文脈（特にＱ,Ｒ,Ｃの構成方法）に依存していると思います。
そこで、それぞれの集合の構成方法が知りたいです。
Ｑは整数全体Ｚの商体？
Ｒの構成方法は切断ですか？それとも…？

こういう意味でなかった場合は、ごめんなさい。

kaitou-man · Answer

まず、Ｃ⊂Ｒ⊂Ｑじゃなくて、Ｑ⊂Ｒ⊂Ｃですね？
それから、この関係があるからといって、Ｃが体であることさえ示せばいいというのは誤りです。整数は有理数の部分集合ですが、体ではありません。

証明するには体の定義を一つ一つ試していけばいいでしょう。
・有理数どうしを加算したものは有理数であるか
・有理数の乗法に関する逆元がまた有理数であるか
などですね。

nubou · Answer

加法は複素数の加法
乗法は複素数の乗法
逆元は複素数の逆数
零元は０

本当に分からないの？

体について（代数学）

*****■問題■***********************************************************************************

集合A,B,Cについて、

この問題は、文脈（特にＱ,Ｒ,Ｃの構成方法）に依存していると思います。

まず、Ｃ⊂Ｒ⊂Ｑじゃなくて、Ｑ⊂Ｒ⊂Ｃですね？

加法は複素数の加法

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